[수학] Partial fraction expansion (부분분수 전개)

 

부분분수 전개는 제어 공학의 라플라스 변환을 하다보면 많이 마주치게 되는데,
대부분 쉽게 풀어 나갈 수 있다.
여기서는 분모에 거듭제곱이 있는 경우의 부분 분수 전개에 대해서만 다시 한번 짚어 본다.

좌변의 경우 처럼 분모에 거듭제곱이 있는 경우의 부분분수 전개.
우선 부분분수 전개를 한 결과는 우변과 같은 꼴로 나타날 것이며, 분자 p,q,r 값을 구해보자.

1) p 값

로 두고 양변에 (s-a)²을 곱한다.
여기서 U(s)는 단지 우변의 첫째 항을 뺀 나머지항을 묶었다는 의미 이다. 

양변에 s=a 대입,

2) q 값

로 두고 양변에 (s-a)²을 곱한다.

양변을 s에 대해 미분,

양변에 s=a를 대입,

3) r 값

양변에 (s-b)를 곱함

s=b 대입,