[수학] Solving problems of integration by parts more easily (부분적분 쉽게 하는 방법)

출처: http://extratype.tistory.com/247#comment6422219

Thomas Finney의 Calculus를 보면 Tabular Integration이라고 표를 이용한 부분적분법이 나온다.
일반적으로 부분적분을 할 때엔 다음과 같은 공식을 사용한다.
$$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$$
그러니까 x cos(x)의 적분을 구하고 싶다면 다음과 같이 한다.
$$\int xcos(x)dx=xsin(x)-\int sin(x)dx=xsin(x)+cos(x)+C$$

이거야 간단하니까 별로 문제가 없는데,
만약에 $(x^3+x)cos(x)$ 와 같은걸 적분해야하면 어쩌지?
이 경우에 손쉽게 쓰일 수 있는 것이 표를 이용한 부분적분법이다.

$xcos(x)$로 예를 들어보자. 먼저 다음과 같은 표를 만든다.

     미분     적분
0     x       cos(x)

그리고는 왼쪽칸을 미분, 오른쪽칸을 적분한다

     미분     적분
0     x       cos(x)
1     1        sin(x)

다음과 같이 서로 곱해서 식을 적으면 된다.

     미분     적분
0      x       cos(x)
          + ↘
1      1 - → sin(x)

대각선으로 되어있는 것은 그냥 곱해서 부호를 붙여주고, 수평선으로 된 것은 적분기호를
붙여준다. 결과물은 물론 다음과 같이 일반 부분적분과 다를 것이 없다.
$$\int xcos(x)dx=xsin(x)-\int sin(x)dx$$그렇다면 표를 쓰는 이유는? 이건 확장하기가 편하다.
예를 들어서 위의 경우에는 마지막 적분식을 적을 필요도 없이 바로 구할 수 있다.
다음과 같이.

     미분     적분
0      x       cos(x)
          + ↘
1      1       sin(x)
          - ↘
2      0 + → -cos(x)

이걸 수식으로 받아적으면 바로...
$$\int xcos(x)dx=xsin(x)+cos(x)+C$$마지막에 붙는 상수 C는 0의 적분값이다.
그렇다면 이걸로 더 복잡한 계산도 가능하다.
예를 들면 위에서 말했던 $(x^3+x)cos(x)$와 같은 것.

     미분     적분
0   x³+ x    cos(x)
          + ↘
1   3x²+ 1   sin(x)
          - ↘
2     6x     -cos(x)
          + ↘
3      6      -sin(x)
          - ↘
4      0 + → cos(x)

식을 여러개 적을거 없이 바로 답이 나오지.
$$\int (x^3+x)cos(x)dx=(x^3+x)sin(x)+(3x^2+1)cos(x)-6xsin(x)-6cos(x)+C$$
$$=(x^3-5x)sin(x)+(3x^2-5)cos(x)+C$$가끔은 식이 깔금하게 떨어지지 않는 경우도 있는데, $e^{x}cos(x)$ 와 같은 경우가 그렇다.

이런 경우를 처리하는 거는 물론 부분적분 배울 때 많이 하지만, 역시 표를 사용하면 더 깔끔하다.

     미분     적분 0     e^x      cos(x)
          + ↘
1     e^x      sin(x)
          - ↘
2     e^x + → -cos(x)

이걸 식으로 옮기면...
$$\int e^{x}cos(x)dx=e^{x}sin(x)+e^{x}cos(x)-\int e^{x}cos(x)dx$$

따라서
$$\int e^{x}cos(x)dx=\frac{e^{x}sin(x)+e^{x}cos(x))}{2}$$

이 된다.