[Linear Algebra] Euclidean space (유클리드 공간)

 

유클리드 공간 (Euclidean space)

  수학에서 유클리드 공간은 유클리드가 연구했던 평면과 공간을 일반화한 것이다.
이 일반화는 유클리드가 생각했던 거리와 길이 그리고 각도를 좌표계를 도입하여 임의 차원의
공간으로 확장한 것이다. 이는 표준적인 유한차원, 실, 내적공간이다.
유클리드의 평행선의 공리와 피타고라스의 정리가 성립하는 n차원 공간으로
직선은 1차원 유클리드공간, 평면은 2차원 유클리드공간, 공간은 3차원 유클리드공간이다.

  대표적인 유클리드 공간은 직교 좌표계이며
유클리드 공간이란 다음의 유클리드 기하의 5개의 공준이 성립하는 공간을 뜻한다.

1. 두 점을 잇는 직선은 유일하다.
2. 두 점을 잇는 선분은 무한대로 늘릴 수 있다.(직선으로 만들 수 있다.)
3. 임의의 한 점과 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.
4. 직각은 모두 합동이다.
5. 직선l과 그 직선밖의 한 점 P가 있을 때, P를 지나면서 직선l에 평행한 직선은 유일하다.

하지만 근대에 들어와서 이 유클리드 기하학이 '아닐 수도 있다' 라는 의심을 사게 되었고..
수학자들 사이에는 과연 5번이 공리인가? 다른 4개의 공리로 증명할 수는 없는가를 연구 하게 되었다. 

모순을 찾기 위해 5번 공리를 부정하여 연구가 진행 되었지만 
연구가 진행되면 될 수록 오히려 새로운 결과만 나왔다. 
그 결과 기존의 유클리드 기하학과 독립적인 기하학이 나타나게 되었는데
그것을 중립기하학(또는 비유클리드 기하학)이라 한다.