[수학] 삼각함수의 각도변환 및 부호결정

 

삼각함수의 각도변환 및 부호결정은 모두 xy 평면 위의 반지름이 1인 단위원에서 판단한다.

 

그림으로 그려보면 가장 이해도 쉽고 까먹을 일도 없다.

 

예를들어, sin(π+θ)와 cos(π+θ)를 θ에 대한 함수로 바꾸면 어떻게 될까?

 

가장 쉬운 방법은, 우선 xy평면에 단위원을 그리고 크기가 같은 화살표끼리 매칭 시킨뒤

 

방향을 고려하여 부호를 결정하면 되는 것이다.

 

 

 

그림에서 같은 크기의 화살표는 같은 색으로 표시했다.

 

1사분면에 있는 녹색점의 위치는 x좌표가 cosθ(파란화살),y좌표가 sinθ(빨간화살)가 되고,

 

3사분면에 있는 녹색점의 위치는 x좌표가 cos(π+θ)(파란화살),y좌표가 sin(π+θ)(빨간화살)가 된다.

 

(단위원 위 어느곳이든, 그 점의 x좌표는 항상 cos, y좌표는 항상 sin으로 구한다고 생각하면 쉽다.)

 

같은 색깔의 화살표 끼리 매칭시키면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

sin(π+θ) = sinθ

cos(π+θ) = cosθ

 

여기서 추가로 방향을 고려해 주어야 하는데,

 

1사분면에서의 빨간화살표는 양, 3사분면에서의 빨간화살표는 음이므로 방향은 서로 반대이며,

 

파란 화살표도 서로 방향이 반대 이므로,

 

최종 꼴은

sin(π+θ) = -sinθ

cos(π+θ) = -cosθ

 

 

그럼 sin(π/2+θ)와 cos(π/2+θ)는?

 

 

 

위 그림에서 2사분면에 있는 녹색점의 x좌표는 cos(π/2+θ), y좌표는 sin(π/2+θ)가 된다.

 

여기서, 같은 색깔의 화살표끼리 매칭 시키면 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

cos(π/2+θ) = sinθ

sin(π/2+θ) = cosθ

 

파란색 화살표는 서로 같은 양의 방향을 향하고 있지만

 

빨간색 화살표의 경우 1사분면에 있는 화살표는 양, 2사분면에 있는 화살표는 음을 향하고 있으므로

 

서로 방향이 반대가 된다.

 

결국 최종꼴은

cos(π/2+θ) = -sinθ

sin(π/2+θ) = cosθ

 

같은 방법으로 다른 것들도 단위원을 그려 구해보면 쉽게 구할 수 있다.

 

sin(π-θ) = sinθ

cos(π-θ) = -cosθ

cos(π/2-θ) = sinθ

sin(π/2-θ) = cosθ