[Real Analysis] Limit of sequence (수열의 극한)

위는 수열의 수렴(Convergence of sequence)의 정의 이다.
좀 풀어서 설명을 해 보면.
수열이 다음과 같이 있다고 하자.

 

n≥N 이라는 말은 N이 자연수 이고 n이 항의 순번을 나타 내므로
N번째 항보다 큰 수열 들을 뜻 한다.
또한 ε은 임의의 모든 양수를 뜻하고,

이란 말은

 

이므로

 

와 같다.

즉, 수열의 N번째 항 이상은 모두 (x-ε,x+ε)의 boundary내에 존재 한다는 뜻이다.
예를 들어 보자. N이 5라고 했을 때 수열의 5번째 항 이상은 모두 boundary 내에 들어가게 되고
그림으로 나타 내 보면 다음과 같다. (7번째 항 이상은 생략하였지만 모두 boundary 내부에 존재
하는 것이다.)

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또한, 수렴을 말하기 위해선 임의의 양수 ε의 값은 매우 작은 값이 여야 한다.

이처럼 수열이 극한을 갖는 경우 우리는 수열이 수렴한다(convergent)라 하고,
극한을 갖지 않는 경우 그 수열은 발산한다(divergent)라 한다.