[Real Analysis] Limit of functions (함수의 극한)

 

앞서 수열의 극한을 제대로 이해했다면, 함수의 극한도 그리 어렵지는 않다.
다만 수열의 극한을 설명 했을 때와 마찬가지로 여기서는 자세한 설명들은 배제 했기 때문에
Real analysis책에 나오는 정의들과 정리들 그리고 증명들을 꼭 한번 읽어 보기 바란다.

보통 우리가 함수의 극한을 정의 할 때에는 다음과 같은 표현을 쓴다.

하지만 해석학에서는 극한을 다음과 같이 정의하고 있다.

  즉, x가 (a+δ,a-δ) boundary내로 수렴 하게 될 때, 그에 따른 함수 값이 (α+ε,α-ε)의 
boundary 내에 항상 존재 하게 되면 f(x)의 극한은 α가 된다.
쉽게 말하면, x가 a로 접근하면, 그에 해당하는 함수 값 f(x)는 α로 접근한다는 얘기 이다.
이 경우 우리는 α는 a에서 함수 f의 극한 이라 하고 함수 f는 a에서 α로 수렴 한다고 한다.
이를 그림으로 나타 내 보면 다음과 같다.

만일 a에서 함수 f가 극한을 갖지 않는다면, 함수 f는 a에서 발산한다고 한다.