[Real Analysis] Completeness property of R (R의 완비성)

 

우리가 실수에 대해 이야기 할 때 보통 다음의 세가지 공리를 이야기 한다.
1. Field axioms.
2. Order axioms.
3. Completeness axioms.

여기서는 세번째 이야기인 실수의 완비성에 대해 이야기 해 보자.
우선 Supremum과 Infimum, Upper bound와 Lower bound에 대해 알아보자.

S를 실수 R의 부분집합이라 하자. 또한 S는 공집합이 아니라 가정한다.

- 모든 s∈S에 대하여 s≤u가 되는 수 u∈R가 존재하면, 집합 S는 bounded above이다.
이때, 수 u들을 S의 Upper bound라 한다.
- 모든 s∈S에 대하여 w≤s가 되는 수 w∈R가 존재하면, 집합 S는 bounded below이고
이때 수 w들을 S의 Lower bound라 한다. 
- 한 집합이 bounded above임과 동시에 bounded below이면, 이 집합을 bounded라 한다.
그렇지 않으면 unbounded라 한다. 

또한, S가 bounded above라 하자. 이 때 u가 S의 upper bound이고 v가 임의의 upper bound
이면 u≤v 를 만족하는 수 u를 S의 Supremum이라 하고, 마찬가지로 S가 bounded below이고,
w가 S의 lower bound이고 t가 임의의 lower bound이면 t≤w를 만족하는 수 w를 S의 Infimum
이라 한다.

즉, R의 주어진 부분집합 S의 Supremum은 최대 하나 존재 한다. 그 보다 더 높은것이 존재하면
그것이 Supremum이 될 것이기 때문에 증명은 쉽다. Infimum도 마찬가지.

※ Supremum은 At least upper bound라 하고 Infimum은 The greatest lower bound라 한다.

이해를 돕기 위해 다음 그림을 보자.

 

만일 집합 S가 Closed interval [-6, 8]에 존재한다면, 집합 S는 -6≤S≤8 이므로
-6은 S의 Infimum임과 동시에 Minimum이 되고, -6이하의 값들은 모두 집합 S의 Lower bound가
된다. 또한 8은 S의 Supremum과 동시에 Maximum이 되고, 8이상의 값들은 모두 집합 S의
Upper bound가 된다. 그럼 집합 S가 Open interval (-6, 8)에 존재할 때를 생각해 보자.
이때 집합 S의 Maximum과 Minimum값 은 없다.
대신 8이 S의 Supremum이 되고, -6이 S의 Infimum이 된다. 

※ 집합 S는 Supremum과 Infimum을 동시에 가질 수 있으며 Supremum만 가질 수도 있고,
Infimum만 가질 수도 있고 또는 둘다 없을 수도 있다.  

실수의 완비성에 대한 명제는 여러가지가 있다. 그 중 Dedekind가 세운 명제는 다음과 같다.

"공집합이 아닌 실수의 어떤 부분집합이 Bounded above이면, Supremum을 갖는다."

즉, 실수의 완비성은 우리가 수직선 상에서 실수만을 가지고 수직선을 빼곡히 채울 수 있다는 것을
의미 한다. 예를 들어 유리수는 완비성이 적용되지 않는다. 즉, Bounded above가 되더라도 
Supremum을 갖지 않는다는 얘기다. √3은 유리수가 아니다. 따라서 어떤 유리수의 부분집합 
K가 K={x|x²<3, x∈Q} 라면, 집합 K는 분명 Bounded above이지만, Supremum을 가질 수 없다.