[Real Analysis] Intermediate value theorem (중간값 정리)

 

중간값 정리를 공부하기 전에 실수의 완비성(R의 완비성)에 대해 먼저 공부하는 것이 좋다.

중간값 정리는 함수 f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이면, f(a)와 f(b)사이에 f(c)를 만족하는
x=c가 최소 하나는 존재 한다는 것이다.

당연한것 같이 느껴질 수 있다.
정의와 증명을 보자.

정의

함수 f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속일 때, f(a)와 f(b)사이의 임의의 값 k에 대하여
f(c)=k를 만족하는 c가 개구간 (a,b)에 적어도 하나 존재 한다.

증명

우선 부분집합 S를 다음과 같이 정의 하자.

 

즉, S는 f(x)가 k보다 작거나 같게하는 실수 x의 부분집합이다. 또한 a는 항상 a∈S 이므로
S는 공집합이 아니다. 그리고 항상 S≤b 이므로 bounded above이다.
결국, 실수의 완비성에 따라 S는 supremum이 존재한다. c=sup S라 가정하면 f(c)=k 가 된다.
여기까지의 가정을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

이제 귀류법으로 위의 정의를 증명 하겠다. 먼저 f(c)>k일 때와 f(c)<k일 때를 가정하고 
이 가정들이 모순임을 보임으로써 f(c)=k라는 것을 증명 하는 것이다.

먼저 f(c)>k라 가정해 보면, f(c)-k>0 이고, 그림에 나타난 가정에 의해 a≤c≤b이므로 f(x)는
x=c에서 연속이다. (f(x)는 [a,b]구간에서 연속이므로) 즉, |x-c|<δ인 모든 x에 대하여 
|f(x)-f(c)|<f(c)-k 를 만족하는 δ＞0 이 존재 한다. 따라서 개구간 (c-δ,c+δ)에 속하는
모든 x에 대해 f(x)>k 가 성립한다. 즉, c-δ또한 S의 upper bound가 될 수 있고 결국
c-δ가 S의 새로운 supremum이 될것이므로 c가 S의 supremum이라는 가정에 위배 된다.
즉, f(c)>k는 거짓이다.

다음 f(c)<k라 가정해 보면, k-f(c)>0이고 a≤c≤b이므로 f(x)는 x=c에서 연속이고, 따라서
|x-c|<δ인 모든 x에 대하여 |f(x)-f(c)|<k-f(c) 를 만족하는 δ＞0 이 존재 한다. 결국
개구간 (c-δ,c+δ)에 속하는 모든 x에 대하여 f(x)<k가 성립하므로 이 또한 c가 S의 supremum
이라는 가정에 위배 되는 것이다.
즉, f(c)<k라는 가정또한 거짓이다.

아래 사이트에 들어가 Bolzano's theorem을 이용하여 중간값 정리를 증명한 내용도 참고 바란다.
http://ghebook.blogspot.com/2010/07/intermediate-value-theorem.html