[Real Analysis] Mean value theorem (평균값 정리)

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보통 Roll's theorem을 먼저 증명하고 그 결과로 평균값 정리를 얻어낸다.

Roll's theorem

Def) $f$ 가 폐구간 $\mathbf{I}:=[a,b]$ 에서 연속이고 개구간 $(a,b)$ 의 모든 점에서 도함수 $f'$이 존재하며, $f(a)=f(b)=0$ 이라 가정하자. 그러면, $f'(c)=0$ 이 되는 적어도 한 점 $c$ 가 $(a,b)$ 에 존재한다.  

앞서 보았던 극값정리에 대한 이해가 되었다면 Roll's theorem을
증명하는 것은 어렵지 않다. (참고 글: 극값 정리)
극값 정리에 의해 함수 $f$ 는 $\mathbf{I}$ 의 어떤 점 $c$ 에서 $sup[f(x): x\in\mathbf{I}>0]$ 이 된다. $f(a)=f(b)=0$ 이므로 점 $c$ 는 $(a,b)$ 에 있어야 하고, 따라서 $f'(c)$ 가 존재한다. $f$ 가 $c$ 에서 극대값을 가지므로 $f'(c)=0$ 이라는 결론을 얻는다.

Mean value theorem 평균값 정리

Def) $f$ 가 폐구간 $\mathbf{I}:=[a,b]$ 에서 연속이고 개구간 $(a,b)$ 에서 미분 가능 하면$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$가 되는 점 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재 한다.

평균값의 정리는 롤의 정리를 일반화 시킨거라 볼 수 있는데, 롤의 정리에서는 구간 [a,b]에서 $f(a)=f(b)=0$ 인 경우이고 평균값 정리의 경우 구간 [a,b]에서 $f(a)\neq f(b)$ 인 경우이다.
다음과 같이 함수 $y=f(x)$ 가 있다고 하자. 

$A(a,f(a)),B(b,f(b))$ 로 정의하고 A점과 B점을 잇는 직선의 방정식 $g(x)$ 를 구해 보면,$$g(x)=\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right) (x-a)+f(a)$$이고 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 차를 함수 $h(x)$ 라 하면 $$h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right) (x-a)-f(a)$$이다. 이 함수는 폐구간[a,b]에서 연속이고, 개구간(a,b)에서 미분가능하며, $h(a)=h(b)=0$
이므로 Roll의 정리를 사용할 수 있게 된다. 즉, $$h'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$ 이므로$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$를 만족하는 $c$ 가 개구간(a,b)에 적어도 하나 존재 한다.