[Calculus] Total differential (전미분)

※ Java를 지원하지 않는 모바일 기기에서는 수식이 제대로 보이지 않을 수 있습니다.

평균값의 정리에서 (참고 글: 평균값 정리) 분수식을 다음과 같이 고쳐 쓰면,
$$f(b)-f(a)=(b-a)f'(c),\qquad (a<c<b)$$여기서 $b$ 대신 $a+h$ 를, $c$ 대신 $a+\theta h$ 를 대입하면, $(0<\theta<1)$
$$f(a+h)-f(a)=hf'(a+\theta h)$$와 같이 나타낼 수 있다. 이 내용을 기억해 두고 전미분에 대해 알아보도록 하자.

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전미분

2변수 함수 $Z=f(x,y)$ 에서 $x,y$ 의 증분 $\Delta x, \Delta y$ 에 대응하는 함수 $Z$ 의 증분 $\Delta Z$ 를 정의 하면,
(여기서 $Z$ 는 미분가능이며 연속이고 그의 1계 편도함수가 $(x,y)$ 근방에서 연속이라고 하자.)
$$\Delta Z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y)$$이 식의 사이에 빼고 더하는 방법으로 항을 집어넣으면,$$\Delta Z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)+f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$$ $x$ 에 관한 $f(x,y)$ 의 편도함수 $f_{x}(x,y)$ 가 존재 하므로 평균값 정리에 의해
$$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x, y+\Delta y)=f_{x}(x+\theta_{1}\Delta x,y+\Delta y)·\Delta x, \qquad (0<\theta_{1}<1)$$같은 방법으로
$$f(x,y+\Delta y)-f(x,y)=f_{y}(x,y+\theta_{2}\Delta y)·\Delta y, \qquad (0<\theta_{2}<1)$$ 따라서,
$$\Delta Z=f_{x}(x+\theta_{1}\Delta x,y+\Delta y)·\Delta x+f_{y}(x,y+\theta_{2}\Delta y)·\Delta y$$ 이고 $f_{x}(x,y),f_{y}(x,y)$ 모두 $(x,y)$ 근방에서 연속이므로
$$f_{x}(x+\theta_{1}\Delta x,y+\Delta y)=f_{x}(x,y)+\epsilon_{1},\qquad \lim\limits_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow(0,0)}\epsilon_{1}=0$$을 만족하는 $\epsilon_{1}$ 이 존재한다. 같은 방법으로
$$f_{y}(x,y+\theta_{2}\Delta y)=f_{y}(x,y)+\epsilon_{2},\qquad \lim\limits_{\Delta y\rightarrow 0}\epsilon_{2}=0$$를 만족하는 $\epsilon_{2}$ 가 존재한다.

결과적으로 $$\Delta Z=f_{x}(x,y)\Delta x+f_{y}(x,y)\Delta y+\epsilon_{1}\Delta x+\epsilon_{2}\Delta y$$ 가 성립하고, $\Delta x$ 와 $\Delta y$ 를 충분히 작게 잡으면,
$$\Delta Z=f_{x}(x,y)\Delta x+f_{y}(x,y)\Delta y$$ 라는 결론을 얻을 수 있다.