[Calculus] Leibniz rule (라이프니츠 규칙)

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먼저 전미분과 연쇄 법칙에 대한 내용을 보고 이 글을 읽는 것이 이해에 도움이 된다.

$u$ 와 $v$ 가 $x$ 의 함수 이고, $a,b$ 는 상수, $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$ 라 할 때,
$$\frac{d}{dv}\int_{a}^{v}f(t)dt=f(v)\qquad\frac{d}{du}\int_{u}^{a}f(t)dt=-f(u)$$인 것을 안다. 그렇다면 $I=\int_{u}^{v}f(t)dt$ 일 때, $\frac{dI}{dx}$ 를 구해 보면, $I$ 가 극한 $u$ 와 $v$ 에 의존하므로 $\frac{dI}{dx}$ 는 편미분 문제에 해당 하고
$$\frac{dI}{dx}=\frac{\partial I}{\partial u}·\frac{du}{dx}+\frac{\partial I}{\partial v}·\frac{dv}{dx}$$ 가 된다. 여기서 $\frac{\partial I}{\partial u}$ 는 $v$ 를 상수로 보고 $u$ 에 대해 미분 한 것이므로 위에서 보았다 시피 $-f(u)$ 가 되고 마찬가지로 $\frac{\partial I}{\partial v}$ 는 $u$ 를 상수로 보고 $v$ 에 대해 미분 한 것이므로 $f(v)$ 가 된다. 따라서
$$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v)·\frac{dv}{dx}-f(u)·\frac{du}{dx}$$ 를 얻는다.

그렇다면 $a,b$ 가 상수 일 때, $I=\int_{a}^{b}f(x,t)dt$ 에서 $\frac{dI}{dx}$ 는
$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x,t)dt=\int_{a}^{b}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$$ 로 쓸 수 있다. 즉 적분 기호 안에서 미분이 가능하다는 것인데 이것이 가능할 필요충분조건은 $\int_{a}^{b}f(x,t)dt$ 가 존재하고 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 가 연속이며 $\int_{a}^{b}g(t)dt$ 가 존재할 때, $\left|\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\right|\leq g(t)$ 인 경우이다.
하지만 대부분의 경우 $\int_{a}^{b}f(x,t)dt$ 와 $\int_{a}^{b}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$ 가 존재하면 위 식은 성립한다.

라이프니츠 규칙

위의 붉은색으로 표시한 두 식을 모은 것이 바로 Leibniz 규칙이다.
$$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(x,t)dt=f(x,v)·\frac{dv}{dx}-f(x,u)·\frac{du}{dx}+\int_{u}^{v}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$$ 첫 항은 $u$ 를 상수로 본 것, 두 번째 항은 $v$ 를 상수로 본 것, 마지막 항은 $u,v$ 를 상수로 본 것이다.