[Mathematical physics] Calculus of variation

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Calculus of variation 변분법

미적분학에서는 특정 함수의 극대값이나 극소값을 찾기 위해 먼저 그 함수를 미분하여  
$\frac{df(x)}{dx}=0$ 이라는 그 함수의 극대값 또는 극소값이 존재할 조건을 찾아 낸다.

변분법에서도 이와 개념은 같다. 어떤 양을 최소화 또는 최대화 하는 문제를 다루고 있으며 변분법에서 다루는 함수는 범함수 [$F(x,y(x),y'(x)) $ 형태]다. 최대 또는 최소화 하고 싶은 양은 다음의 적분이다.
$$I=\int_{x_1}^{x_2} F(x,y(x),y'(x)) dx$$여기서 $y'=\frac{dy}{dx}$ 이다. 해당 범함수 $F(x,y,y')$ 의 형태를 알고 있을 때, 적분 $I$ 가 가장 작은 값 또는
가장 큰 값을 갖도록 하는 $y=y(x)$ 를 구하는 것이 변분법의 목적이다. 이는 미적분학에서 특정함수의 극값을 찾는 것과 많이 닮아 있는데, 함수의 극값을 찾는것과 같이 적분 $I$ 를 미분하여 그 값이 최대값 또는 최소값을 갖게 하기 위한 조건을 찾아 내게 된다.

그렇다면 라그랑지 방정식이 공학에 어떻게 활용되게 되었을까??
Hamilton의 최소작용의 원리에 의하면 자연은 항상 에너지를 최소로 유지하는 방향으로 작용한다.
즉, 어떠한 입자나 입자계는 언제나 $$I=\int_{t1}^{t2} L dt$$ 가 최소가 되도록 움직인다는 뜻이며 여기서 $L=T-V$ 을 라그랑지안(Lagrangian) 이라고 하고,
$T$ 은 kinetic energy, $V$ 는 입자나 계의 potential energy이다. 그리고 우리가 라그랑지안 $L$을 알고
있을 때, 변분원리를 통해 이 적분 $I$ 를 미분하여 이 값이 최소가 되도록 조건을 뽑아내면 뽑아낸 조건 식이 바로 라그랑지 방정식(Lagrange equation)이다. Hamilton은 이렇게 유도된 라그랑지 방정식이 뉴턴의 운동방정식과 동치임을 밝혀 내었고 고전역학으로는 설명하기 힘든 여러 물리현상을 라그랑지 방정식을 통해 쉽게 해결해 낼 수 있게 된 것이다.  

예제) 두 점 사이의 곡선 중 최소 길이를 갖는 곡선 찾기 

두 지점 간의 최소 거리는 두 지점을 직선으로 그어 구할 수 있다는 것은 누구나 알고 있을 것이다.
변분법에 대한 이해를 돕기위해 변분법을 이용해 이를 증명 해보자.
우선 우리는 두 점을 잇는 선분들 중 최소 길이를 갖는 것이 직선이라는 사실을 모르고 있다고
가정하자. 두 점이 2차원 카테시안 좌표계에 있고, 각 점의 위치를 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 로
표현 했을 때, 두 점을 잇는 선분의 길이는 $\sqrt{dx^2+dy^2}$ 이 될 것이다. 이를 다시쓰면
범함수 $\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$ 가 된다. 즉, 위에서 설명하였듯이 우리는 범함수 $F(x,y(x),y'(x))$
를 알고 있으며 적분값 $I$ 를 최소로 만드는 $y=y(x)$ 를 구하는 것이 목적이 되겠다.

우선 $y(x)$ 를 극소라 두자. 그러면 극소가 아닌 모든 곡선 $Y(x)$는
(여기서 $Y(x)$ 는 극소에 비해 아주 작은 양만큼의 차이가 있다고 가정.) $$Y(x)=y(x)+\epsilon \eta(x)$$로 나타낼 수 있다. 여기서 $\eta(x)$ 는 임의의 함수로써 $x_1$ 과 $x_2$ 지점에서만 0이고 나머진 연속인
임의의 함수이다. 이렇게 되면 $Y(x)$ 는 시작점과 끝점만 $y(x)$ 와 같고 나머지 부분은 $y(x)$
와 다른 임의의 곡선이 된다. 문제를 다시 설명하자면 이 모든 곡선 $Y(x)$ 중에서 $I=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+Y'^2}dx$ 를 최소로 만드는 하나의 곡선을 찾는 것이다. 

$Y(x)=y(x)+\epsilon\eta(x)$ 이고 최소는 $y(x)$ 이므로 $I(\epsilon)$ 은 $\epsilon=0$ 일 때 최소값을 가져야 한다.
즉, $\epsilon=0$ 일 때, $$\frac{dI}{d\epsilon}=0$$ 이 되어야 한다. 따라서 $I$를 $\epsilon$ 의 함수로 보고 문제를 풀어야 하는데 적분기호 안에서 $\epsilon$ 에 대해 미분하면 (참고글 : 라이프니츠 규칙)
$$\frac{dI}{d\epsilon}=\int_{x_1}^{x_2}\frac{1}{2}·\frac{1}{\sqrt{1+Y'^2}}·2Y'·\left(\frac{dY'}{d\epsilon}\right) dx$$ 를 얻는다. 이 값이 $\epsilon=0$ 일 때 최소값을 가져야 한다. $Y'(x)=y'(x)+\epsilon\eta'(x)$ 이므로 $\frac{dY'}{d\epsilon}=\eta'(x)$ 이다. 또한 $\epsilon=0$ 으로 놓는다는 말은 $Y(x)=y(x)$ 로 놓는다는 말 이므로
위 식을 다시 쓰면, $$\left(\frac{dI}{d\epsilon}\right)_{\epsilon=0}=\int_{x_1}^{x_2}\frac{y'(x)·\eta'(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}}dx=0$$ 이 되고, 이를 부분적분 하면, $$\frac{y'(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}}·\eta(x)|_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\eta(x)·\frac{d}{dx}\left(\frac{y'(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}}\right)dx=0$$ 이 된다. 여기서 $\eta(x)$ 는 $x_1$과 $x_2$ 에서 0이므로 첫 째항은 0이 되고, 두 번째 항에서 $\eta(x)$ 는
임의의 함수기 때문에 0이 될 수 없으므로 $$\frac{d}{dx}\left(\frac{y'(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}}\right)=0$$이라는 결과를 얻을 수 있다. 즉, 두 지점 $(x_1,y_1), (x_2,y_2)$ 을 잇는 수 많은 곡선들 중 위 조건을 만족하는 곡선이 바로 거리가 최소가 되는 곡선이 된다. 위 식을 $x$에 대해 적분 하면, $\frac{y'(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}}=C$ 또는 $y'(x)=C$ 를 얻을 수 있고 (여기서 $C$는 상수) $y(x)$의 기울기가 상수 라는 것은 직선이라는 뜻이므로 두 지점을 잇는 최소거리를 갖는 곡선은 직선이라는 것이 증명된다.