[Calculus] Chain rule (연쇄 법칙)

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앞서 전미분에 대한 이해가 끝났다면, 연쇄 법칙을 이해하는 것은 별 어려움이 없을 것이다.
(참고 글: 전미분)

연쇄 법칙

이변수함수 $z=f(x,y)$ 에 대해 $x=g(t)$, $y=h(t)$이고, $f(x,y), g(t), h(t)$가 미분 가능한 함수이면,
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}·\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}·\frac{dy}{dt}$$이 성립한다.

증명) $f(x,y)$ 가 미분가능 함수 이면, 잘 알고 있는 미분의 정의에 의해
$$\frac{dz}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta z}{\Delta t}$$ 이므로 여기서 $\Delta t$ 의 변화만큼 $\Delta x,\Delta y$ 가 변했다고 하면 다음 식에서 (전미분을 참고바람)
$$\Delta z=f_{x}(x,y)·\Delta x+f_{y}(x,y)·\Delta y+\epsilon_{1}\Delta x+\epsilon_{2}\Delta y$$양변을 $\Delta t$ 로 나누고 
$$\frac{\Delta z}{\Delta t}=f_{x}(x,y)·\frac{\Delta x}{\Delta t}+f_{y}(x,y)·\frac{\Delta y}{\Delta t}+\epsilon_{1}·\frac{\Delta x}{\Delta t}+\epsilon_{2}·\frac{\Delta y}{\Delta t}$$ 
$\Delta t\rightarrow 0$ 이면 $\Delta x, \Delta y\rightarrow 0$ 이고 $\lim\limits_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0.0)}\epsilon_{1}=0, \lim\limits_{\Delta y\rightarrow 0}\epsilon_{2}=0$ 이므로 $\epsilon_{1},\epsilon_{2}\rightarrow 0$
이 된다. 결론적으로
$$\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta z}{\Delta t}=f_{x}(x,y)·\frac{dx}{dt}+f_{y}(x,y)·\frac{dy}{dt}+0$$ 이므로
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}·\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}·\frac{dy}{dt}$$