[Real Analysis] Fixed point theorem (고정점 정리)

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고정점 정리란 폐구간 [a,b]안에서 임의의 함수 $f(x)$와 특정 값 $x$가 같은 값을 가지는 것을 말한다. 
고정점이란 함수변환을 하여도 변하지 않는다 하여 붙여진 이름인듯. 
즉, 어떠한 함수라도 폐구간 [a,b]에서 정의되어있고 연속이면 그 함수와 그 함수의 입력이 같아지는
지점이 항상 존재 한다는 것이다.(또한 함수변환을 한다해도 이 사실은 변함이 없다는 것.) 
여기서 유의해야 할 부분은 구간이 폐구간이라는 점과 그 구간내에서 정의된 함수가 연속이라는 것이다. 

여기선 먼저 폐구간[0,1]사이에서 고정점 정리를 증명해 본 후,
폐구간[a,b]로 확장시켜 일반화 해 보도록 하겠다.

Fixed point theorem 고정점 정리

Def) 변수 $x$ 와 연속함수 $f(x)$ 의 정의 영역이 닫힌구간 [0,1]로 한정되면,
$f(x_{\circ})=x_{\circ}$ 인 고정점 $x_{\circ}$ 가 반드시 존재한다.

  위 그림과 같이 폐구간 $x,y\in [0,1]$ 에서 정의되 있고 연속인 함수 $x$와 $f(x)$ 가 있다고 하자.
이 두 값이 같은 지점이 항상 존재 해야 한다는 것은 $f(x)=x$ 인 지점이 존재 한다는 뜻이고 결국 $f(x)-x=0$ 이 되는 지점이 존재 한다는 것이다. 즉, 새 함수를 다음과 같이 정의해 보면 
$(h(x)=f(x)-x)$ 함수 $h(x)$ 는 폐구간에서 연속이므로, 결국 $h(x)=0$ 인 지점이 존재 한다는
것이다.

  증명 해 보자. $h(x)=x-f(x)$ 라 정의 하고, $x=0$ 을 대입 해 보면, $h(0)=0-f(0)=-f(0)$ 가 되어 항상 $h(0)\leq 0$ 을 만족한다. 또한 $x=1$ 을 대입해 보면, $h(1)=1-f(1)$ 이 되어 항상 $h(1)\geq 0$ 을 만족한다. ($f(0)$ 과 $f(1)$ 은 폐구간 [0,1] 내부에 존재하므로 항상 $f(0),f(1)\leq 1$ 이 됨.) 여기에 중간값 정리를 적용하면 (참고 글: 중간값 정리) 폐구간 [0,1]에서 함수 $h(x)$ 는 $h(0)\leq 0\leq g(1)$ 을 만족 하므로 함수 $h(x)$ 는 반드시 폐구간 [0,1]에서
0값을 가지게 되므로 $h(x_{\circ})=0$ 을 만족하는 $x_{\circ}$ 가 반드시 존재한다.

  이제 고정점 정리를 일반화 시켜 보자. $x\in [a,b]$ 이고, $f(x)\in [c,d]$ 일 때에는 위의 고정점정리를 그대로 사용할 수 없다. 따라서 다음과 같이 변환과정을 거친다.$$X=\frac{x-a}{b-a},\quad F(X)=\frac{f(x)-c}{d-c}$$이렇게 되면 $0\leq x \leq 1$ 과 $0\leq F(X)\leq 1$ 를 만족 하게 되고 함수는 폐구간에서 연속이므로
변환된 함수에 고정점 정리를 적용하면 $$F(X_{\circ})=X_{\circ}$$를 만족하는 점 $X_{\circ}$ 가 존재하게 된다. 즉, $$\frac{f(x)-c}{d-c}=\frac{x-a}{b-a}$$ 을 만족하는 점 $x_{\circ}$ 가 존재하게 된다. 이것을 다시정리하면 $$\frac{b-a}{d-c}[f(x_{\circ})-c]+a=x_{\circ}$$와 같은데 좌변을 $g(x_{\circ})$ 로 두면, $$g(x_{\circ})=x_{\circ}$$ 가 되어 결과적으로 함수 $g(x_{\circ})$ 는 고정점 $x_{\circ}$ 를 가지게 된다. 이해를 돕기 위해 그래프를 그려
변환 과정을 보자.

  처음에 함수 $f(x)$는 붉은색 영역 내부에서 정의 되 있었다. 이 상태로는 고정점 정리를 사용하지
못하기 때문에 변환 과정을 거쳐 함수 $F(X)$ 를 폐구간 [0,1]에서 정의 하였다.

이로써 고정점 정리를 사용할 수 있게 되고
$F(X)=X$식을 다시 정리하여 함수 $g(x)$를 정의 하였다. 
함수 $g(x)$ 는 다음 과 같은 영역에 정의 되어 있고 폐구간 내에서 연속이므로 여전히 고정점 정리를 적용 할 수 있다.