[Mathematical physics] Euler-Lagrange equation

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이 글을 보기 전에 변분법(참고글: Calculus of variation)에 대해 먼저 공부해보기 바란다.

오일러-라그랑지 방정식의 유도

변분법에서 공부했던 대로 변형된 곡선의 집합이 $Y(x)=y(x)+\epsilon\eta(x)$ 이고, $I(\epsilon)=\int_{x_1}^{x_2}F(x,Y(x),Y'(x))dx$ 이면 $\epsilon=0$ 일 때, $\left(\frac{d}{d\epsilon}\right)·I(\epsilon)=0$ 이 되어야 $Y(x)$의 최소값을 
구할 수 있다는 것을 알고 있다. $Y,Y'$ 이 $\epsilon$의 함수 이므로 적분기호 안에서 $\epsilon$에 대해 미분하면, $$\frac{dI}{d\epsilon}=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial F}{\partial Y}·\frac{dY}{d\epsilon}+\frac{\partial F}{\partial Y'}·\frac{dY'}{d\epsilon}\right)dx$$ 가 되고, $Y'(x)=y'(x)+\epsilon\eta'(x)$ 이므로 $$\frac{dI}{d\epsilon}=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial F}{\partial Y}·\eta(x)+\frac{\partial F}{\partial Y'}·\eta'(x)\right)dx$$ $\epsilon=0$ 에서 $\frac{dI}{d\epsilon}$ 가 0이 되야 하고 $\epsilon=0$ 이라는 말은 $Y=y$ 라는 말이므로 $$\left(\frac{dI}{d\epsilon}\right)_{\epsilon=0}=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial F}{\partial y}·\eta(x)+\frac{\partial F}{\partial y'}·\eta'(x)\right)dx=0\qquad…①$$ 적분 항 내에 미분되어 있는 항만 따로 부분적분 하면, $$\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial y'}·\eta'(x)dx=\frac{\partial F}{\partial y'}·\eta(x)|_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)·\eta(x)dx$$ 이 된다. 우변의 첫 번째 항은 $\eta(x)$ 함수가 $x_1,x_2$ 점에서 0이기 때문에 0이 되고
두 번째 항을 ①식에 다시 대입하면,$$\left(\frac{dI}{d\epsilon}\right)_{\epsilon=0}=\int_{x_1}^{x_2}\left[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\right]·\eta(x)dx=0$$ 여기서 $\eta(x)$ 는 임의의 함수이므로 0이 될 수 없으므로 $$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0$$ 이 되고 이 결과가 바로 Euler 방정식 또는 Euler-Lagrange 방정식 이라 부른다.
공학에서는 범함수 $F$ 를 라그랑지안 $L$(Kinetic energy-Potential energy)로 두고 전체 적분값을
최소로 만드는 오일러-라그랑지 방정식에 대입하여 물리계의 역학을 기술한다.