[Linear Algebra] Vector Space (벡터 공간)

군(Group) : 임의의 모든 원소가 집합 S에 포함 되며, 그의 연산도 S에 포함 된다.

      (연산에 대해 닫힘; a,b∈S  →  a*b∈S)

 

⊙ 결합 법칙 성립      (a*b)*c = a*(b*c)

⊙ 항등원 존재          e∈S, a*e = e*a = a

⊙ 역원 존재             a∈S, b∈S, ab = e = ba

가환군 : 어느 집합이 '군' 이면서 연산에 대해 교환 법칙이 성립하면, 이를 가환군 이라 한다.

벡터 공간 (Vector Space) 정의

어떤 집합 V에 대해 '가법'과 '스칼라 곱' 이 정의 되어 있으며 닫혀 있다.
또한 아래 성질 3가지를 만족하는 공간.

① 가법에 대하여 가환군이 된다.
② 스칼라 곱에 대해 결합법칙이 성립한다.
③ 가법과 스칼라 곱을 함께 사용할 때에는 분배법칙이 성립한다.

※ 3차원 이상의 벡터공간에서 구체적인 기하학적 의미는 없다. 단지 유용한 수학적 도구일 뿐.

Span
A set of vectors spans a space if their linear combinations fill the space.

Basis
유한개 벡터 집합 {v1,v2,…,vn}이 linearly independent 하면서 Vector space V를 span 하면,
이 벡터 집합을 Vector space V의 basis라 한다.  
→Span{v1,v2,…,vn}이 linearly independent하면, {v1,v2,…,vn}는 vector space V의 basis이다.
⊙ Standard basis
n개의 벡터 집합 {(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…1)}은 Rⁿ의 standard basis이다.

Dimension
Vector space V가 n개의 vector로 이루어진 basis를 갖는다면, V는 n차원 이다.
dim(V) = n

Column space (wiki 펌)

선형 대수학에서 Column space(또는 종종 range of a matrix라 한다.) 라는 것은 그것의
column vector들의 모든 가능한 linear combination set을 말한다.
m x n 매트릭스의 column space는 Euclidean space의 m-dimensional subspace이다.
column space의 dimension을 매트릭스의 rank라 한다.

<The column vectors of a matrix 출처: 위키피디아>

참고. 영 공간 (Null Space)

Ax=0 이라는 1차 선형시스템(Homogeneous System)에서의 해공간을 의미한다.
(The null space of a matrix A is the set of all vectors V such that Ax=0)
영 공간은 벡터 공간이다. 


참고. 부분 공간 (Subspace)

Vector space V의 공집합이 아닌 부분집합 U가 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀 있으면
U를 V의 Subspace라 한다.
→ U는 V내의 영벡터를 포함 한다. 주어진 부분 집합이 영벡터를 포함하지 않으면 결코
Subspace가 될 수 없다.