백호's Engineering Reports

※ Java를 지원하지 않는 모바일 기기에서는 수식이 제대로 보이지 않을 수 있습니다. 이 글을 보기 전에 변분법(참고글: Calculus of variation)에 대해 먼저 공부해보기 바란다. 오일러-라그랑지 방정식의 유도 변분법에서 공부했던 대로 변형된 곡선의 집합이 $Y(x)=y(x)+\epsilon\eta(x)$ 이고, $I(\epsilon)=\int_{x_1}^{x_2}F(x,Y(x),Y'(x))dx$ 이면 $\epsilon=0$ 일 때, $\left(\frac{d}{d\epsilon}\right)·I(\epsilon)=0$ 이 되어야 $Y(x)$의 최소값을 구할 수 있다는 것을 알고 있다. $Y,Y'$ 이 $\epsilon$의 함수 이므로 적분기호 안에서 $\epsilon$에 대해 미분하면,..

※ Java를 지원하지 않는 모바일 기기에서는 수식이 제대로 보이지 않을 수 있습니다. Calculus of variation 변분법 미적분학에서는 특정 함수의 극대값이나 극소값을 찾기 위해 먼저 그 함수를 미분하여 $\frac{df(x)}{dx}=0$ 이라는 그 함수의 극대값 또는 극소값이 존재할 조건을 찾아 낸다. 변분법에서도 이와 개념은 같다. 어떤 양을 최소화 또는 최대화 하는 문제를 다루고 있으며 변분법에서 다루는 함수는 범함수 [$F(x,y(x),y'(x)) $ 형태]다. 최대 또는 최소화 하고 싶은 양은 다음의 적분이다. $$I=\int_{x_1}^{x_2} F(x,y(x),y'(x)) dx$$여기서 $y'=\frac{dy}{dx}$ 이다. 해당 범함수 $F(x,y,y')$ 의 형태를 알고 ..

※ Java를 지원하지 않는 모바일 기기에서는 수식이 제대로 보이지 않을 수 있습니다. 먼저 전미분과 연쇄 법칙에 대한 내용을 보고 이 글을 읽는 것이 이해에 도움이 된다. $u$ 와 $v$ 가 $x$ 의 함수 이고, $a,b$ 는 상수, $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$ 라 할 때, $$\frac{d}{dv}\int_{a}^{v}f(t)dt=f(v)\qquad\frac{d}{du}\int_{u}^{a}f(t)dt=-f(u)$$인 것을 안다. 그렇다면 $I=\int_{u}^{v}f(t)dt$ 일 때, $\frac{dI}{dx}$ 를 구해 보면, $I$ 가 극한 $u$ 와 $v$ 에 의존하므로 $\frac{dI}{dx}$ 는 편미분 문제에 해당 하고 $$\frac{dI}{dx}=\frac{\par..

※ Java를 지원하지 않는 모바일 기기에서는 수식이 제대로 보이지 않을 수 있습니다. 앞서 전미분에 대한 이해가 끝났다면, 연쇄 법칙을 이해하는 것은 별 어려움이 없을 것이다. (참고 글: 전미분) 연쇄 법칙 이변수함수 $z=f(x,y)$ 에 대해 $x=g(t)$, $y=h(t)$이고, $f(x,y), g(t), h(t)$가 미분 가능한 함수이면, $$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}·\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}·\frac{dy}{dt}$$이 성립한다. 증명) $f(x,y)$ 가 미분가능 함수 이면, 잘 알고 있는 미분의 정의에 의해 $$\frac{dz}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\righ..

※ Java를 지원하지 않는 모바일 기기에서는 수식이 제대로 보이지 않을 수 있습니다. 평균값의 정리에서 (참고 글: 평균값 정리) 분수식을 다음과 같이 고쳐 쓰면, $$f(b)-f(a)=(b-a)f'(c),\qquad (a

※ Java를 지원하지 않는 모바일 기기에서는 수식이 제대로 보이지 않을 수 있습니다. 고정점 정리란 폐구간 [a,b]안에서 임의의 함수 $f(x)$와 특정 값 $x$가 같은 값을 가지는 것을 말한다. 고정점이란 함수변환을 하여도 변하지 않는다 하여 붙여진 이름인듯. 즉, 어떠한 함수라도 폐구간 [a,b]에서 정의되어있고 연속이면 그 함수와 그 함수의 입력이 같아지는 지점이 항상 존재 한다는 것이다.(또한 함수변환을 한다해도 이 사실은 변함이 없다는 것.) 여기서 유의해야 할 부분은 구간이 폐구간이라는 점과 그 구간내에서 정의된 함수가 연속이라는 것이다. 여기선 먼저 폐구간[0,1]사이에서 고정점 정리를 증명해 본 후, 폐구간[a,b]로 확장시켜 일반화 해 보도록 하겠다. Fixed point theor..

※ Java를 지원하지 않는 모바일 기기에서는 수식이 제대로 보이지 않을 수 있습니다. 보통 Roll's theorem을 먼저 증명하고 그 결과로 평균값 정리를 얻어낸다. Roll's theorem Def) $f$ 가 폐구간 $\mathbf{I}:=[a,b]$ 에서 연속이고 개구간 $(a,b)$ 의 모든 점에서 도함수 $f'$이 존재하며, $f(a)=f(b)=0$ 이라 가정하자. 그러면, $f'(c)=0$ 이 되는 적어도 한 점 $c$ 가 $(a,b)$ 에 존재한다. 앞서 보았던 극값정리에 대한 이해가 되었다면 Roll's theorem을 증명하는 것은 어렵지 않다. (참고 글: 극값 정리) 극값 정리에 의해 함수 $f$ 는 $\mathbf{I}$ 의 어떤 점 $c$ 에서 $sup[f(x): x\in\m..

※ Java를 지원하지 않는 모바일 기기에서는 수식이 제대로 보이지 않을 수 있습니다. 최대-최소 정리(극값 정리)를 알아보기 전에 먼저 공부해야 할 두가지 정리가 있다. 1. 수열에 대한 Bolzano-Weierstrass Theorem 2. Boundedness Theorem 그리고 이 정리들을 좀더 쉽게 이해 하기 위해 보조 정리들을 공부해야 한다. 천천히 살펴 보도록 하자. 상대적으로 쉬운 증명들은 Skip하였다. real analysis 책을 참고 바란다. 우선 이해를 돕기위해 몇가지 용어를 정리해 둘 필요가 있는데 그 중에서도 증가(increasing)과 감소(decreasing)에 대해 정리를 해 둘 필요가 있다. 증가함수와 감소함수, 순증가함수와 순감소함수, 단조증가함수와 단조감소함수들의 ..

중간값 정리를 공부하기 전에 실수의 완비성(R의 완비성)에 대해 먼저 공부하는 것이 좋다. 중간값 정리는 함수 f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이면, f(a)와 f(b)사이에 f(c)를 만족하는 x=c가 최소 하나는 존재 한다는 것이다. 당연한것 같이 느껴질 수 있다. 정의와 증명을 보자. 정의 함수 f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속일 때, f(a)와 f(b)사이의 임의의 값 k에 대하여 f(c)=k를 만족하는 c가 개구간 (a,b)에 적어도 하나 존재 한다. 증명 우선 부분집합 S를 다음과 같이 정의 하자. 즉, S는 f(x)가 k보다 작거나 같게하는 실수 x의 부분집합이다. 또한 a는 항상 a∈S 이므로 S는 공집합이 아니다. 그리고 항상 S≤b 이므로 bounded above이다. 결국, 실..

우리가 실수에 대해 이야기 할 때 보통 다음의 세가지 공리를 이야기 한다. 1. Field axioms. 2. Order axioms. 3. Completeness axioms. 여기서는 세번째 이야기인 실수의 완비성에 대해 이야기 해 보자. 우선 Supremum과 Infimum, Upper bound와 Lower bound에 대해 알아보자. S를 실수 R의 부분집합이라 하자. 또한 S는 공집합이 아니라 가정한다. - 모든 s∈S에 대하여 s≤u가 되는 수 u∈R가 존재하면, 집합 S는 bounded above이다. 이때, 수 u들을 S의 Upper bound라 한다. - 모든 s∈S에 대하여 w≤s가 되는 수 w∈R가 존재하면, 집합 S는 bounded below이고 이때 수 w들을 S의 Lower b..