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[Mathematical physics] Calculus of variation ※ Java를 지원하지 않는 모바일 기기에서는 수식이 제대로 보이지 않을 수 있습니다. Calculus of variation 변분법 미적분학에서는 특정 함수의 극대값이나 극소값을 찾기 위해 먼저 그 함수를 미분하여 $\frac{df(x)}{dx}=0$ 이라는 그 함수의 극대값 또는 극소값이 존재할 조건을 찾아 낸다. 변분법에서도 이와 개념은 같다. 어떤 양을 최소화 또는 최대화 하는 문제를 다루고 있으며 변분법에서 다루는 함수는 범함수 [$F(x,y(x),y'(x)) $ 형태]다. 최대 또는 최소화 하고 싶은 양은 다음의 적분이다. $$I=\int_{x_1}^{x_2} F(x,y(x),y'(x)) dx$$여기서 $y'=\frac{dy}{dx}$ 이다. 해당 범함수 $F(x,y,y')$ 의 형태를 알고 .. 더보기
[Calculus] Leibniz rule (라이프니츠 규칙) ※ Java를 지원하지 않는 모바일 기기에서는 수식이 제대로 보이지 않을 수 있습니다. 먼저 전미분과 연쇄 법칙에 대한 내용을 보고 이 글을 읽는 것이 이해에 도움이 된다. $u$ 와 $v$ 가 $x$ 의 함수 이고, $a,b$ 는 상수, $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$ 라 할 때, $$\frac{d}{dv}\int_{a}^{v}f(t)dt=f(v)\qquad\frac{d}{du}\int_{u}^{a}f(t)dt=-f(u)$$인 것을 안다. 그렇다면 $I=\int_{u}^{v}f(t)dt$ 일 때, $\frac{dI}{dx}$ 를 구해 보면, $I$ 가 극한 $u$ 와 $v$ 에 의존하므로 $\frac{dI}{dx}$ 는 편미분 문제에 해당 하고 $$\frac{dI}{dx}=\frac{\par.. 더보기
[Calculus] Chain rule (연쇄 법칙) ※ Java를 지원하지 않는 모바일 기기에서는 수식이 제대로 보이지 않을 수 있습니다. 앞서 전미분에 대한 이해가 끝났다면, 연쇄 법칙을 이해하는 것은 별 어려움이 없을 것이다. (참고 글: 전미분) 연쇄 법칙 이변수함수 $z=f(x,y)$ 에 대해 $x=g(t)$, $y=h(t)$이고, $f(x,y), g(t), h(t)$가 미분 가능한 함수이면, $$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}·\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}·\frac{dy}{dt}$$이 성립한다. 증명) $f(x,y)$ 가 미분가능 함수 이면, 잘 알고 있는 미분의 정의에 의해 $$\frac{dz}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\righ.. 더보기

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