(고전제어이론) 20.Nyquist stability criterion

제어계의 안정 조건

폐루프 전달 함수가 다음과 같은 시스템이 안정하기 위해서는

시스템의 특성방정식 1+G(s)H(s)의 모든 근(특성방정식의 특성근)이 s평면상의
왼쪽 반평면에만 위치 해야 함.

나이퀴스트 안정도 판별법

 개루프 주파수 응답 G(jω)H(jω)를 s평면의 오른쪽 반평면에 존재하는 1+G(s)H(s)의 영점과
극점의 숫자와 관련 시키는 방법.
 폐루프 극점을 구하지 않고 폐루프 시스템의 절대 안정도를 개루프 주파수 응답 곡선으로 부터
도해적으로 구할 수 있다.
 
→ 구성요소의 일부에 대한 수학적인 표현식은 알지 못하지만 주파수 응답 자료를 이용할 수 있는
경우가 종종 있는데 이 경우 이 방법이 편리하다.

※ Nyquist 안정도 판별 : 복소이론에서 나온 정리에 기초를 두고 있으며 이를 보다 명확히
이해 하기 위해서는 복소 평면에서의 경로(contour)의 사상(mapping)에 대해 논의해야 한다.

<Nyquist stability criterion>

절대 안정도 : 어떠한 제어계가 안정인지 불안정인지를 알 수 있다.
상대 안정도 : 안정하다면 어느정도 안정하고, 불안정 하다면 어느정도 불안정 한지 알 수 있다.

나이퀴스트 안정도 판별법은 상대 안정도에 해당한다.

즉, 특성방정식의 근 들, F(s) = 1+G(s)H(s) = 0 이 (영점들이) 복소 평면상에서 우반부에
존재 하는가 존재 하지 않는가를 벡터 궤적을 통해 판별하는 방법이다.

위 그림에서 특성방정식 F(s)를 우항과 같이 풀어 적어 보면, [1]을 0으로 만드는 근이 F(s) 극점,
[2]를 0으로 만드는 근이 F(s)의 영점이 될 텐데 여기서 전체 특성방정식 F(s)를 0으로 만들기 
위해서는 [2]의 식을 0으로 만들어야 하기 때문에 F(s)의 영점이 특성 근이 된다.
 
다시 설명 하면, 먼저 [1] 에서의 극점들은 모두 좌반부에 존재 한다고 가정하고,
[2] 에서의 해는 특성방정식 F(s)의 영점이 되지만 실제로 특성 근은 전체 전달함수의
분모를 0 으로(1+G(s)H(s)=0) 만드는 근이기 때문에 [2] 에서의 해가 곧 "특성 근"이 된다. 

"특성 근이 복소 평면상의 우반부에 존재 하는가 하지 않는가를 벡터 궤적에 의해 판별"

① - 절대 안정도

1) F(s)의 사상

 

기본 개념 :
 s평면상의 우반부에 있는 영점 하나를 끼고 시계방향으로 도는 contour가 있다고 하자.
(붉은색 원) 이 contour는 F(s)평면 상에서 원점을 끼고 한바퀴 도는 contour로 사상(mapping)
될 수 있다. 또한, 우반부의 영점을 두개 끼고 도는 contour는 F(s)평면 상에서 원점을 끼고
두바퀴 도는 contour로 사상될 수 있다. 만일 우반부에 특성근이 3개 존재 한다면, 그 특성근을
끼고 도는 contour는 F(s)평면 상에서 원점을 끼고 세바퀴를 돈다. 

 이 개념을 바탕으로 시스템의 안정도를 판별할 수 있다.

전달함수의 s parameter값이 평면상에서(s 평면) 특정 contour를 그리며(시계방향) 변할 때,
(contour위에 존재하는 점들이 각각 s 값이 됨) s값을 F(s)에 대입 하게 되면
전달함수 F(s)값은 또 다른 평면 상에서(F(s)평면) s 값이 변함에 따라 그에 상응하는
contour를 그리게 된다.
 이때, s 평면상에서 그려진 contour 내부에 영점(특성근)이 존재 한다면 F(s)평면에 
사상된 contour는 원점을 끼고 영점의 수 만큼 회전하게 된다. 
 
s parameter값을 0에서 무한대로 변화 시키며 contour를 그려 보았을 때
(다시말해 s 평면의 우반부를 모두 포함하는 contour를 그림)
F(s) 평면 상에 mapping 되어 지는 contour가 원점을 끼고 몇바퀴를 도는지 아니면
원점을 끼지 않고 도는지를 보고 s평면 상에서 영점이 우반부에 존재 하는지를 판별 한다. 

 s평면상에서 우반부 전체를 다 포함해서 회전 시켰을 때, 이 범위 안에 영점이 n개 존재 한다면,
F(s)평면상에서 원점을 끼고 n바퀴를 회전하게 됨.
만일 원점을 끼고 회전하지 않는다면 s평면의 우반부에는 영점이 존재 하지 않는다는 뜻이며,
결과적으로 시스템은 안정하다.


2) 안정도 판별 예제

전달 함수의 특성방정식이 위와 같을 때를 생각 해 보자.

우선 앞에 더해진 1을 제외 하고 생각 해 보자.
s값(jω)가 0에서 무한대로 변할 때 즉, 주파수가 0에서 ∞로 변할 때 벡터 궤적을 F(s)평면에
그려 보면 위 그림과 같다. 0에서 -∞로 변할 때와 대칭이다.
그 다음, s평면 상에서 주파수가 무한대인 상태로 오른쪽으로 회전 시키면 s평면의 우반부 전체를
감싸는 contour가 생성 된다. 회전하는 동안 F(s)평면에서는 원점에 머무르게 된다.
앞서 1을 제외했기 때문에 1을 포함한 원래 식의 벡터 궤적을 다시 그려 보면
1 만큼 평행 이동 하면 되므로,

결과적으로, F(s)상에 mapping 된 contour는 원점을 끼고 돌지 않기 때문에 이 시스템의 특성근은
우반부에 존재 하지 않는다는 뜻이 된다.
만일 벡터궤적이 다음과 같이 나타 난다면, 시스템의 특성근은 우반부에 2개 존재 하게 된다.

※ F(s)=1+G(s)H(s)에서 1을 제외하고 개루프 주파수 전달함수 G(jω)H(jω)만 가지고 안정도를
판별하는 것을 간이화 나이퀴스트 판별법이라 한다. 

간이화 나이퀴스트 판별법에서는 1을 제외하고 생각 하기 때문에 원점이 아닌 -1+j0 점을
끼고 도는 contour가 있는지 여부를 확인 한다. 

② - 상대 안정도

앞서 mapping의 개념을 가지고 시스템이 안정한지 불안정 한지를 가늠해 보았다면,
이번엔 안정한 시스템이면 얼마나 안정한지, 불안정 하다면 얼마나 불안정 한지를 알아 보자.

벡터 궤적은 실수축을 기준으로 위아래 대칭 이므로 위쪽 그림은 생략하고 생각 해 보자.
위 그림 처럼 불안정한 경우의 contour가 위 아래로 전부 그려지게 되면
-1+j0 점을 포함 하게 된다. 반면 안정한 경우는 그 점이 포함되지 않는다.
임계 안정의 경우 contour가 -1+j0 점 위로 지나가게 된다.

시스템이 안정하기 위한 각도조건과 크기조건을 떠올려 보자.
우선 크기가 1인 단위원을 그린다. contour가 실수축과 만나는 점을 Q, 단위원과 만나는 점을 P
라 하면, 원점과 점P를 이은 직선과 실수축이 이루는 각이 위상여유(Phase margin; PM) 이고, 
점 -1+j0에서 점Q까지의 거리가 이득여유(Gain margin; GM) 이다.
점 Q : 위상 교차점
점 P : 이득 교차점

여기서 선분 OQ의 크기는 |G(jω)H(jω)|이며 이를 dB로 나타내 보면, 이득 여유는 다음과 같다.

선분 OP가 실수축과 이루는 각이 클수록(위상여유가 클수록) 혹은 허수축에 붙을 수록 안정하다.

보드선도를 이용한 상대 안정도 판별법

→ Open loop(개루프) 이득 G(s)H(s)에서 주파수를 증가시켜 가며 가로축(주파수)
세로축(위상,크기)에 그린 그림에서 판별.

⊙ 이득 여유(Gain margin : GM)
위상이 -180도가 되는 주파수(위상교차주파수)에서 Unstable하게 될 때까지
(즉 이득이 1보다 커질 때 까지) gain이 몇 배나 증가될 수 있는가 하는 지표.

⊙ 위상 여유(Phase margin : PM)
이득이 1인 주파수(이득교차주파수)에서 Unstable해지기 까지
(즉 위상이 -180도를 넘기까지) 위상각의 여유가 얼마나 있는가 하는 정도.

안정 조건 : 이득 곡선이 0 (dB)과 교차하는 주파수 에서의 위상차가 -180도 보다 크고
위상 곡선이 -180도인 점에서의 이득 값이 음의 값이면 안정 하다. 

☆ 나이퀴스트 선도에서 안정계에 요구되는 여유

이득여유(GM) : 4~12 (dB)
위상여유(PM) : 30~60 (˚)

☆ 보드 선도에서 안정계의 조건

위상여유 Φm > 0
이득여유 gm > 0
위상 교점 주파수 > 이득 교점 주파수