(고전제어이론) 18.Frequency Response Analysis

주파수 응답 해석.
주파수 응답이란, 어떤 선형 시스템에 정현파 신호를 가했을 때 시스템 출력 신호를 조사하는 것으로
입력신호의 주파수를 관심있는 범위에 걸쳐 변화시키고 그 결과로써 나타나는 응답을 연구하는 것이다.
일반적으로 입력신호를 준다음 충분히 시간이 경과한 후 과도상태에서 정상상태가 되었을 때의 입력신호와 출력신호의 진폭과 위상 등을 통해 시스템의 동특성을 파악한다.
즉, 주파수 응답은 시스템이 안정하다는 가정 하에 분석이 가능하며 시스템이 불안정한 경우 정상상태
가 존재 하지 않기 때문에 주파수 응답은 무의미 하다.

전달함수는 s대신 jω를 사용한 주파수 전달함수 G(jω)를 사용.

크기와 위상차는

Phasor 형식으로 나타 내면,

⊙ Bode plot (보드 선도)

보드 선도는 보통 두개의 그래프로 그리는데, 하나는 사인파 전달 함수의 크기를 로그로 나타낸 것이며,
다른 하나는 위상각을 나타낸 것이다. 두 그래프 모두 주파수에 대해 그리며 전달 함수 G(jω)의 크기를
로그로 표시하는 기준은 20 log|G(jω)|, 단위는 (dB)이다.

보드 선도는 데시벨 눈금을 사용하는데, 선형 눈금에서는 ω=1/RC 에서의 이득값 보다 10%큰 이득을
갖는 주파수와 ω=100/RC 에서의 이득값 보다 10%큰 이득을 갖는 또다른 주파수를 동시에 나타내기
어렵다. 따라서 이를 편리하게 나타낼 수 있도록 Scale을 변화시켜 표현하기 쉽게 한다.

※ 대수 눈금(Logarithmic scale) : 동일 비율 → 동일 변위

-대수눈금 상에서 두 수의 차
만일 Y를 다음과 같이 정의 하면

만일,

이면,

대수 눈금은 다음과 같이 쓴다. 

보드 선도에서는 이러한 대수 눈금을 쓰는데, 대수 눈금을 사용하게 되면 광범위한 눈금을
간결하게 정리 할 수 있다.

보드 선도의 크기 응답 곡선에서는 가로축에 주파수에 대한 대수 눈금을, 세로축엔 데시벨로
나타낸 대수 눈금을 사용 한다.

데시벨 눈금은 대수 눈금(log 눈금이라고도 함) 앞에 20을 곱한다. 단위는(dB).
Alexander Graham Bell(1847~1922)이 만들어낸 Scale. 데시벨 눈금을 사용하면 비율을
덧셈으로 표현 할 수 있다.

즉, 게인이 10배가 된다는 것은 20데시벨 증가, 100배가 되는 것은 40데시벨의 증가를 나타낸다.

<Bode plot: 보드 선도>

0dB 이면, 출력=입력

0dB 보다 크면 출력>입력
0dB 보다 작으면 출력<입력

- 보드 선도의 장점

주파수 전달함수의 크기는 일반적으로 여러 기본 요소들에 대한 주파수 전달 함수의 크기의 곱으로 표시 될 수 있으므로, 대수 좌표계상에서는 주파수 전달 함수의 크기를 각 기본 요소에 대한 주파수 전달 함수의 크기의 합으로 표시할 수 있다. 이와 같이 시스템이 복잡하더라도 시스템을 여러 개의 기본 요소로 분해 함으로써 주파수 응답을 조직적이며 쉽게 구할 수 있으며 대수 좌표계를 사용하므로 저주파 및 고주파의 넓은 주파수역에서 주파수 응답을 나타낼 수 있다. 또한 점근선을 이용하여 실제 선도에 근사시킬 수 있으므로 복잡한 주파수 전달 함수를 쉽게 선도화 할 수 있다.

기본요소들의 주파수 응답을 살펴 보자.

1) 비례요소

응답은 입력신호를 k배 한것. 전달함수 G(jω) = k = k+j0 라 하면 이 때의 게인 g와 위상차 φ는
g = 20 log |G(jω)| = 20 log k (dB)
φ = ∠G(jω) = 0 ˚
비례요소의 보드 선도에서 게인 곡선은 일정 값의 직선,
위상 곡선은 위상차 0 ˚인 일정 값의 직선이 된다는 것을 알 수 있다.

2) 적분요소

전달함수 G(jω) = k/jω 
G(jω) = k/jω = j·k/j·jω = -j·k/ω
k = 1 이면,
g = 20 log |G(jω)| = 20 log (j/ω) = 20 {j log 1 - log ω} = -20 log ω
φ = ∠G(jω) = tan^(-1) {(-k/ω)/0} = -90 ˚

 

3) 미분요소

G(jω) = jkω, k = 1 이면,
g = 20 log |G(jω)| = 20 log ω (dB)
φ = ∠G(jω) = tan^(-1) {(kω)/0} = 90 ˚

4) 1차 지연요소

k = 1 이면,

5) 2차 지연요소

k = 1 이면,