(고전제어이론) 16.Root-locus

 

폐루프 전달함수가 G(s)/{1+G(s)H(s)} 라 할때, 특성 방정식 1+G(s)H(s)= 0의 해가 폐루프 극점이다.
이를 만족시키기 위해서는 G(s)H(s)= -1이 되어야 하고 |G(s)H(s)|= 1 이 되어야 한다.

허수 평면에 위치한 한 점은 a+bi 로 나타낼 수 있으며 이를 극형식으로 표현하면,
다음과 같이 표현 될 수 있다.

여기서 |G(s)H(s)|= 1 이므로 r= 1 이다.

즉, G(s)H(s)= -1이 되기 위해
sinθ= 0, cosθ= -1이 되어야 하며, 이를 만족하는 각도 θ는 ±180 ˚(2k+1), (k= 0,1,2…)이 된다.

→ |G(s)H(s)|= 1을 크기 조건(magnitude condition)이라 하며,
→ θ= ±180 ˚(2k+1), (k= 0,1,2…)를 각도 조건(angle condition) 이라 한다.

이제 예제를 하나 들어 보면서 직접 근궤적을 그려 보자.

폐루프 전달함수 G(s)/{1+G(s)H(s)} 에서

인 경우의 근 궤적을 그려 본다.

우선 ①극점은 0,-1,-2 에 있으며, 각도 조건에 의해 근궤적은 두꺼운 실선 부분에 존재 하게 된다.

여기서 ②근궤적의 수는 P-Z=3 개 (P: Pole의 수, Z: Zero의 수)이며, 3개인 경우 근궤적이
서로 이루는 각은 60 ˚이며 ③실수 축으로 부터 각각 60 ˚, 180 ˚, 300 ˚ 각도를 이루게 된다.
(2개인 경우 90 ˚, 270 ˚)

④근 궤적의 점근선과 실수축과의 교점은

(P: Pole의 수, Z: Zero의 수, Pvalue: Pole 값, Zvalue: Zero 값)

이 정보를 바탕으로 근궤적의 점근선을 그려 보면,

⑤점근선과 허수축과의 교점은 tan60 ˚ 를 이용해서 쉽게 구할 수 있다.

⑥Break-away point를 구해 보면,
특성 방정식 s³ + 3 s² + 2 s + k = 0 을 미분하고,
3 s² + 6 s + 2 = 0 의 근을 구하면,
s = -0.4226 또는 s = -1.5774

이 값이 Break-away point가 되는데 여기서 -1.5774는 영역 외 값이므로 제외 된다.

⑦근궤적과 허수축의 교점은 특성방정식에 s=jω를 대입하여 허수부와 실수부로 나누어
정리하고, 실수부와 허수부를 각각 0으로 두어 풀면 구할 수 있다.

즉,
(jω)³ + 3 (jω)² + 2(jω) + k = 0
(k - 3ω²) + j(-ω³ + 2ω) = 0
k - 3ω² = 0,  -ω³ + 2ω = 0

∴ ω = ±√2, 0

최종적으로 개루프 전달함수의 근궤적을 그려 보면,

 

근궤적과 실수축과의 교점은(Break-away point) -0.4226이며 이때의 k값은 0.3849 이다.
근궤적과 허수축과의 교점은 ±√2 이며 이때의 k값은 6이다.
즉 k가 6인 경우 시스템은 영원히 진동하는 상태(Marginally stable상태) 이다.

※ 정리

근궤적(Root-locus) : 폐루프 전달함수 특성 방정식의 근, 즉 폐루프 극점들을 복소평면 상에 표시
한 것이며, Gain 값이 0에서 ∞로 변하는데 따라 달라지는 폐루프 극점들을 그래프로 그린 것이다.

그릴 때에는 개루프의 극점과 영점이 사용되며, 이 때문에 근 궤적은 각각의 개루프 극점과
영점이 폐루프 극점의 위치에 미치는 영향을 분명히 보여준다.

근궤적은 k=0 일 때 개루프 극점에서 출발하여 k=∞ 일 때 개루프 영점에 종착 한다.
식으로 설명 해 보면,

또한, 극점의 위치에 따라 응답은 다르게 나타 나게 되는데, 다음 그림은
시스템에 임펄스 신호를 주었을 때, 극점의 위치에 따라 나타나는 응답을 나타낸 것이다.

극점 : 극점이 음의 실수로 갈수록 시스템은 빠르게 수렴한다. (안정)
         극점이 양의 실수로 갈수록 시스템은 빠르게 발산한다. (불안정)
         극점이 위로 올라갈 수록 진동 주파수는 커진다.

영점 : 영점은 허수축에 가까이 있는 값만 의미가 있다.
         허수축의 좌측에 있으면 Overshoot가, 우측에 있으면 Undershoot가 발생한다.


※ 참고로 알아 두기

- Root-locus는 항상 실수축에 대하여 대칭

- Break-away point : k값의 변화에 따라 실수축에 있던 극점들이 서로 만나 충돌하여 
                              허수축 양쪽으로 튀어 나가는 지점

- Break-in point : 허수부분에 있던 극점들이 서로 날아와 실수축에서 충돌하여
                         실수축 양쪽으로 튀어 나가는 지점