(고전제어이론) 13.Effects of Integral control action on system performance

적분 제어와 미분 제어가 시스템 성능에 미치는 영향을 알아보자.

적분 제어 동작

우선 적분 제어만 행했을 경우 시스템에 어떠한 영향이 있는지를 본다.
비교를 위해 우선 비례 제어만 행했을 경우의 시스템을 예로 들어 보고, 그 후 비례 제어 대신
적분 제어를 행해 본다. 

우선, 다음과 같이 1차 폐루프 시스템에 비례 제어 동작을 행했을 경우를 보자.

입력 신호 R(s)가 단위 계단 입력일 때, 시스템 에러는,  

최종값 정리를 이용하여 정상상태 오차를 구해보면,

즉, 비례 제어만 행했을 경우, 1/K+1 만큼의 정상상태 오차가 발생하는 것을 볼 수 있다.

그럼 이제 이 시스템에 비례 제어대신 적분 제어기로 대체 시켜 보자.

전달 함수를 먼저 구해 보면,

에러는,

입력 신호는 계단 입력 이며, 결과 적으로 에러는

즉, 적분 제어를 행함으로써 정상상태 오차를 없앨 수 있는 것이다.

다음은 토크 외란에 대해 생각 해 보자.
실제 시스템에는 많은 외란이 존재 한다. 센서 노이즈, 마찰 등등..
기본적인 모터 시스템에 외란이 존재한다는 가정을 하고, 실제 시스템에 조금은 가깝게
생각을 해 본다. 이 때 비례 제어만 행한 경우와, 비례-적분 제어를 행했을 경우 어떠한 차이를
보이는지 보자.

다음과 같은 시스템을 생각해 보자.

입력 신호 R(s)가 0인 경우 외란 D(s)와 출력신호 C(s)사이의 전달함수는,

그리고,

이므로 크기가 Td인 계단 외란토크에 대한 정상상태 오차는,

즉, 외란 토크와 크기가 같고 방향이 반대인 토크 -Td가 발생 한다.

이득 kp를 증가 시킴으로써 정상상태 오차를 감소 시킬 수 있다. 하지만 이득을 증가시키면
시스템의 응답에 심한 진동을 가져 올 수 있다.(불안정 해질 수 있다.)

위의 시스템에 비례-적분 제어기를 적용 해 보자.

에러를 구해 보면,

정상상태 오차가 제거됨을 볼 수 있다.

비례-적분 제어 시스템에서 비례제어 동작은 시스템을 안정화 하려고 하며, 반면 적분제어 동작은
여러가지 입력에 대한 정상상태 오차를 없애거나 줄이려고 한다. 적분제어 요소를 첨가함으로써
2차 시스템이 3차 시스템으로 차수가 증가하게 되고, 비례 제어 이득값이 커지면 시스템이 불안정
해 지는 결과를 가져올 수 있다. → 특성 방정식을 Routh의 안정도 판별법으로 가늠해 본다.

적분 제어 동작에 대해 정리해 보면,

→ 제어기에 적분 제어 요소를 포함 시킴으로써 정상상태 오차를 제거할 수 있다. 반면 적분 제어 요소는 일정 입력에 대하여 정상상태 오차가 발생 하지 않도록 하는 효과를 가지지만 시스템의 안정도를 
저하 시키는 경향이 있으므로 제어기에 적분 제어 요소만 사용하는 경우는 드물며 주로 비례 제어기와
함께 사용하여 시스템을 안정하게 하면서 정상상태 오차를 없앤다. 

→ 적분 제어로 실제 목표값에 가깝게 하는 제어는 완벽할 수 있으나, 시간이 걸려 제어 응답속도가
나빠진다. 따라서 외란에 대해 신속하게 반응할 수 없으며, 원래의 목표값으로 돌아갈 수 없다.