(고전제어이론) 10.Transient and steady-state response analyses (II)

2차 시스템의 과도응답과 정상상태응답 특성

2차 시스템 전달함수의 표준형

여기서 ωn은 비감쇠 고유진동수 이며, ζ는 감쇠비 이다.
ωn(비감쇠 고유진동수)와 ζ(감쇠비)가 2차 시스템의 동작 거동을 결정한다.

감쇠에 대한 글은 다음을 참고 하자.
2011/04/30 - [Studies/Basic] - Damping (감쇠)

비감쇠 고유진동수는 시스템의 감쇠가 없는 경우에 시스템이 가지고 있는 고유 진동수이며
감쇠비란 시스템의 감쇠가 있는 경우 그 정도가 어느 정도인지를 나타낸다.
즉, 감쇠비(ζ)가 0인 경우는 시스템의 감쇠가 없다는 의미 이므로 시스템의 응답은
무한히 진동하게 된다.

2차 시스템의 감쇠비의 크기에 따라 Step response를 보면,
0<ζ<1 인 경우 시스템의 응답은 진동 하다 점점 수렴 하는 감쇠 진동의 성질을 보인다. 이 경우
부족 감쇠(Underdamped) 시스템이라 한다.
ζ=1 인 경우 응답은 입력 값을 넘지 않고 서서히 입력 값으로 수렴한다. 즉 Overshoot없이
천천히 입력 값에 접근 하게 된다. 이 경우 임계 감쇠(Critically damped)라 한다.
ζ>1 인 경우는 과 감쇠(Overdamped)이며 ζ=1인 경우와 같이 입력값을 넘지 않고 입력 값에
점점 수렴 하지만 수렴하기 까지의 시간이 길어진다. ζ이 1이상인 경우에는 그 크기가 커지면
커질 수록 수렴하기 까지의 시간은 증가한다.

ζ의 크기에 따른 2차 시스템의 Step response는 다음과 같다. 

2차 시스템에서 바람직한 과도응답을 얻기 위해선 감쇠비가 0.4~0.8정도 이어야 하며,
감쇠비가 0.4보다 작으면 지나친 오버슈트가 발생하고, 0.8보다 크면 응답이 느려진다.

과도응답 사양에 대한 정의

Mp : 최대 오버 슈트. 응답 곡선의 최대 봉우리에서 1을 뺀값.

td : 지연 시간. 응답이 처음으로 최종값의 반이 되는데 걸리는 시간.

tr : 상승 시간. 응답이 최종값의 10%~90%, 5%~95%, 0%~100%까지 상승하는데 걸리는 시간이며,
부족 감쇠 2차 시스템에서는 보통 0%~100%까지의 상승시간이 적용되고, 과감쇠 2차시스템에서는
보통 10%~90%까지의 상승시간이 적용된다.

tp : 피크 시간. 응답이 오버슈트의 첫번째 봉우리에 도달하는 데 까지 걸리는 시간.

ts : 정착 시간. 응답 곡선이 최종값의 절대 퍼센트 (2%또는 5%)내의 범위에 들어와서 머물게 
되는데 걸리는 시간. 

2차 시스템 전달 함수를 다시 써 보면,

즉 특성근은

이 된다.

로 두면,

로 줄일 수 있다. 여기서 ωd를 감쇠 고유진동수(damped natural frequency)라 한다.  
즉, 감쇠비와 비감쇠 고유진동수를 알면, 그 때의 극점의 위치를 알 수 있다.
뒤에 다시 공부 하겠지만, 제어기 설계를 할 때 요구 사양이 감쇠비와 고유진동수로 주어지면
요구 되는 극점의 위치를 알 수 있으므로 근궤적법에 의한 제어기 설계를 행할 수 있다.

어쨌든, 이를 복소 평면에 나타내 보면,

시간영역에서의시스템 사양 구하기

단위 계단 입력에 대하여 시스템의 시간영역에서의 사양들을 구하기 위해, 
단위 계단 입력R(s)에 대한 C(s)는 다음과 같이 쓸 수 있다. 

이를 부분분수 전개 한 후, 라플라스 역변환을 취하여 c(t)를 구하면,

이 식을 이용하여, 시간영역에서의 시스템 사양들을 구할 수 있다. 하나하나 구해 보자.

1. 상승시간 Tr
상승시간은 c(t)=1 일 때의 시간 t를 구하는 것이므로,

여기서 e^(ξωntr) 은 0이 아니므로

또한,

따라서 상승시간 Tr은

2. 피크시간 Tp
피크시간 Tp는 c(t)를 미분 하여 그 값이 0일 때의 시간 t 이므로,
우선 c(t)를 미분하고,

t대신 tp를 대입하여 0이 되는 되는 tp를 찾는다. 

여기서 다음을 이끌어 낼 수있다.

즉, c(t)함수는 ωdtp가 π,2π,3π.. 일 때 변곡점이 발생 하며, 피크 값은 첫 번째 변곡점 에서의 
시간이 된다.  

3. 최대 오버슈트 Mp
최대 오버슈트는 시간 tp일때 발생하며, 단위 계단 입력에 대한 응답이기 때문에, 최대 오버슈트
값에서 1을 뺀 값이 Mp값이 된다.

4. 정착시간 Ts
위에서 구한 c(t)식은 과도응답 함수 이다.
과도 응답은 다음 그림과 같이 한쌍의 포락선 내에 항상 존재 한다.

이 포락선의 시정수는 T=1/ξωn,
과도응답의 감쇠 속도는 이 시정수의 크기에 달려있다.
보통 감쇠비는 최대 오버슈트로 부터 결정 되므로 정착시간은 주로 비감쇠 고유 진동수 ωn에 의해
결정 된다.

±2%, ±5%의 허용 오차폭에 해당되는 정착 시간은 시정수로 부터 표현 될 수 있는데

감쇠비가 0<ξ<0.9에 대하여 2%의 기준을 적용 한 경우 시정수의 약 4배,
5%의 기준을 적용한 경우에는 시정수의 약 3배가 된다.

상승 시간

피크 시간

최대 오버슈트

정착 시간