(고전제어이론) 11.Routh's stability criterion

 

시스템이 안정하기 위한 필요충분 조건은 모든 폐루프 극점이 S평면의 왼쪽 반 평면에 존재 하는 것이다. Routh의 안정도 판별법을 이용하면 분모 다항식을 인수 분해 하지 않고도 S평면의 오른쪽 반평면에
존재하는 폐루프 극점의 개수를 쉽게 알아 낼 수 있다.

시스템이 안정하기 위해서는 다항식의 모든 계수가 양수 이어야 하며, 0이 아니어야 한다. 이는 음의
실수부를 가진 근이 존재하기 위한 것이며, 양의 실수부를 가진 근이 존재 하게 되면, 그 근은 S평면의
오른 쪽 반평면에 위치하게 되고 시스템은 불안정 해 지기 때문이다.
 

※ 특성 방정식의 근이 S평면의 왼쪽 반평면에 있어야 시스템이 안정한 이유

특성 방정식을 역 라플라스 변환 하였을 때, Exp 함수의 지수가 음수가 나와야 시스템의 응답이
수렴하게 되며, 안정해 질 수 있다.

특성근이 S평면의 왼쪽 반평면에 존재 하는 경우 지수함수는 0으로 수렴한다.
→ 안정해 진다.

예를 들어 다음과 같이 3차 다항식으로 이루어진 특성 방정식을 예를 들어 보자.

다항식의 모든 계수가 0이 아닌 양수인 경우 Routh의 안정도 판별법을 사용할 수 있다.
다음과 같이 배열을 만드는데, 첫째 행과 둘째 행은 다항식의 계수들을 나열하되,
첫행은 짝수 번째 계수, 둘째 행은 홀수번째 계수를 나열 한다. 그 이후 행은 이전의 행들의
연산에 의해 계산 된다.

 위와 같이 배열을 만든 후, 붉은 색 상자 안에 보이는 항들의 부호 변화 횟수는 곧 양의 실수부를
갖는 근의 개수와 같다.

예를 들어, 위와 같이 배열이 나왔다고 했을 때, 2행에서 3행으로 부호변화가 한번 있었고,
3행에서 4행으로 부호변화가 또 한번 있었기 때문에, 양의 실수부를 갖는 근의 개수는 2개 이다.

즉, 배열의 1열 계수들의 부호가 모두 양수 이어야 시스템이 안정 해 질 수 있다.

만일 1열 항 중에 0이 존재 하는 경우, 그 항을 매우 작은 수 ε 으로 치환 하여 연산을 진행한다.

만일 유도된 모든 행의 계수가 0인 경우에는 그 앞 행의 계수로 보조 다항식을 만들고,
그 다항식을 미분한 식의 계수를 대신 써서 연산을 진행 한다.

예제를 풀어 보자.

위 시스템의 특성 방정식은,

이를 가지고 배열을 만들면,

결과 적으로, 시스템이 안정해 질 수 있는 K의 범위는,

Routh의 안정도 판별법은 상대 안정도를 개선하거나 불안정한 시스템을 안정화 하는 방법을 제시 하진
못한다. 하지만 이 방법을 이용하여 불안정도를 일으키는 값을 조사함으로써, 한 두개 파라미터의 변화에 대한 시스템의 영향을 알아 볼 수 있다.