(고전제어이론) 17.Control systems design by the Root-locus method

 근궤적법을 이용하여 제어 시스템을 설계 해보자.
제어 시스템을 '설계' 한다는 것은 시스템의 특성이 내가 원하는 특성을 갖도록 만드는 것이다. 
시스템의 특성을 좌우 하는 시스템 파라미터들을 조정하여 시스템이 내가 원하는 출력을 낼 수 있도록 하는데, 보통 시스템 파라미터들은 설계 사양으로 주어지며 이를 통해 목표 극점을 찾고 목표 극점을
갖도록 시스템을 설계하는 것이 일반적인 방법이다.

보상기(compensator)는 다음과 같이 두가지로 분류 될 수 있다.

1. 앞섬 보상기(Phase lead compensator) 또는 진상 제어기(Phase lead controller)
2. 뒤짐 보상기(Phase lag compensator) 또는 지상 제어기(Phase lag controller)

보상기의 가장 간단하고 일반적인 형태는 다음과 같이 하나의 영점과 하나의 극점을 가진 필터이다.

즉, 앞섬 보상기와 뒤짐 보상기는 형태는 같다.
다만 α의 크기가 1보다 작은 경우 앞섬 보상기, 1보다 큰 경우 뒤짐 보상기라 한다.

앞섬 보상기 설계:
시스템이 모든 이득값에 대해 불안정 하거나 안정하지만 과도응답특성이 좋지 않은 경우에
앞섬 보상기를 설계하여 응답특성을 좋게한다.

뒤짐 보상기 설계:
시스템의 과도응답특성은 만족스러우나 정상상태특성이 만족스럽지 않은 경우와
과도응답특성을 크게 변화시키지 않으면서 개루프이득을 증가시키고 싶은 경우에 뒤짐 보상기를
설계하여 응답특성을 좋게한다.

설계시 사양이 시간영영의 양, 즉 
[ 주요 폐루프 극점의 감쇠비(ξ), 비감쇠 고유진동수(ωn), 최대 오버슈트(POS), 상승시간(Tr),
정착시간(Ts) ]  으로 주어질 때 근궤적 법을 이용하여 보상기를 설계하는 것이 효과적이다.   

 시스템의 특성을 보완하는 방법에는 플랜트를 다시 재 설계하는 것과 보상기(compensator)를 추가
하는 방법이 있다. 보상기(제어기라고도 함)를 추가하는 방법은 우선 적절한 형태의 보상기를 설정하고
난 후 보상기의 극점이나 영점들의 값들을 찾아 보상기를 설계 한다. 그리고 설계된 보상기 전달함수
C(s)를 플랜트 전달함수 G(s)앞에 추가하여 본래의 근궤적을 새로이 바꾸어 폐루프 제어 시스템의
극점 위치를 원하는 자리에 배치 시키는 방법이다.

극점 앞에 영점이 위치한 경우 : 앞섬 보상기, 극점 뒤에 영점이 위치한 경우 : 뒤짐 보상기.

(1) 앞섬 보상기_기하학적 방법

우선 앞섬 보상기를 설계하기위한 기하학적 방법을 소개 한다.
절차는 다음과 같다.

1. 목표 극점 위치를 결정한다. 이는 주어진 설계 사양을 이용하여 결정할 수 있다.
2. 각도 조건을 이용하여 보상기의 영점과 극점을 배치 한다.
3. 크기조건을 이용하여 보상기 이득 K를 찾는다. 

영점을 배치하는 방법은 다양하다. 참고 하기 바란다.
-R.C. Dorf. Modern Control System.
-K. Ogata. Modern Control Engineering.
-J.J. D'Azzo, C.H. Houpis. Linear Control Systems: Analysis & Design.

다음 예제를 통해 앞섬보상기 설계 방법을 자세히 보도록 하자.

시스템의 플랜트가 다음과 같이 주어져 있고,

설계 사양은 다음과 같을 때, 앞섬 보상기를 설계 해 보자.

목표 극점은 s = -6.75 ± j11.69 로 구해 진다. (페이지 맨 아래 참고)

근궤적의 특성상 s 평면은 실수 축을 기준으로 위 아래 똑같으므로
s1 = -6.75 + j11.69,
s2 = -6.75 - j11.69 중 하나만 사용하여 구함.

점 s1에서 플랜트 G(s1)의 각도는

각도 조건에 의해 각도는 180도가 되어야 하므로
보상기를 통해 몇도를 보상해 주어야 하는지를 알아야 한다.

즉, 보상기를 이용해 55.88도를 보상해 주어야 한다.
(여기서 보상해 주어야 할 각이 음수 이면 앞섬 보상기는 설계 될 수 없다.
또한 앞섬 보상기는 50~60도 사이의 각을 보상할 수 있으며 더 큰 위상 앞섬이 요구 되면
하나 이상의 보상기를 사용하여야 한다.)

s1의 각도는,

φc = 55.88, φ=120 이라 하자.
우선 φ 을 이등분하는 선을 긋고,

이등분한 각 φ/2에서 φc/2 만큼 더한 각이 보상기 영점으로 부터의 각이 되고,
φc/2 만큼 뺀 각이 보상기 극점으로 부터의 각이 된다.

계산 해 보면,

tan를 이용해 극점의 위치와 영점의 위치를 구하면,
극점 좌표 : -25.31
영점 좌표 : -7.17

결국 구해진 보상기는

크기 조건에 의해
|K(s)G(s)|=1 이므로,

이를 이용해 보상기 이득을 구하면,
Kc=13.51

최종적으로 구해지는 보상기는 다음과 같다.

(2) 뒤짐 보상기_해석적 방법

뒤짐 보상기를 설계하기위해 다음과 같은 절차를 따른다.
-우선, 요구되는 정상상태오차를 통해 이득 kc를 구해두고,
-또한 설계 사양을 통해 목표 극점 s1을 구한다. 

뒤짐 보상기를 다음과 같이 정의하자.

플랜트 G(s)를 Phasor 형식으로 나타 내면,

여기서 Mg는 플랜트 전달함수의 크기, θg는 전달함수의 위상각을 나타낸다. 

위의 뒤짐 보상기를 시스템 플랜트 앞에 추가 하고, 이것이 목표 극점 s1을 지날 때 크기와 위상은
1과 180도가 나와야 한다.

즉, 크기조건과 각도 조건에 의해 위와같은 Phasor의 형식이 나타나야 한다.
다시 써보면,

여기서 우리는 kc를 이미 알고 있으며 s1의 Phasor 형식도 알 수 있기 때문에, 

이를 대입 하고, τz와 τp에 대해 식을 풀면, 

여기까지 구한 kc, τz, τp로 뒤짐 보상기를 완성한다.

예제를 통해 해석적 방법으로 뒤짐보상기를 설계해 보자.

시스템의 플랜트가 다음과 같이 주어져 있다.

설계사양은 다음과 같이 주어져 있다.

뒤짐 보상기를 설계 해 보자.

뒤짐보상기는 정상상태오차를 줄이고자 하는것이 목표이므로 보상기의 이득값을 먼저
정해 주는 것이 유리하다. 따라서, 시스템 플랜트 앞에 이득 kc가 직렬 연결 된 상태로
시스템의 에러를 먼저 구해보면,

정상상태오차를 구해보면,

이 되어야 하므로,

Kc=297로 잡는다.
또한, POS≤10% 이므로,

이로써 감쇠비(ζ)를 구해 내었다.
또한, Ts≤5sec 이므로

즉, ζωn=1 이므로

이로써 비감쇠 고유진동수(ωn)도 구해 내었다. 
ζ=0.59, ωn=1.69 이므로,
목표 극점을 구하고 이를 Phasor형식으로 나타내어 Ms와 θs를 구한다.

즉, Ms=1.69, θs=126 ˚

이득이 곱해진 KcG(s) 플랜트에 목표 극점 s1을 대입해 보면
s1 지점에서의 KcG(s)의 Phasor를 구할 수 있다. 

즉, Mg=0.3, θg=-124 ˚

여기까지 구한 값들을 위해서 유도해낸 식에 대입하여 τz와 τp를 구하면,
τz=0.0075, τp=51.47

최종적으로 구해진 뒤짐보상기는

 

※ 참고

2차 시스템 전달 함수의 Standard form은 다음과 같다.

이 때, 극점은 다음과 같다. 

시스템 사양에 관한 내용은 다음을 참고 바란다.
(고전제어이론) 10.Transient and steady-state response analyses (II)