(고전제어이론) 19.Nyquist plot

 

극좌표선도(Nyquist plot 또는 Polar plot) : ω가 0→∞로 변할 때 벡터 |G(jω)|∠G(jω)의 궤적.
양의 위상각은 양의 실수축으로 부터 반시계 방향으로 측정.

<Nyquist plot>
관심 주파수 범위에서 ω값을 변화 시키며 |G(jω)|와 ∠G(jω)를 구할 수 있다.

장점 : 전 주파수 범위에 걸친 시스템의 주파수 응답 특성을 나타낼 수 있다.
단점 : 개루프 전달 함수의 각 인자들의 영향을 뚜렷히 나타내지 못한다.

주파수 전달 함수의 크기와 위상각

전달함수 1.

크기와 위상각은

전달함수 2.

크기와 위상각은

전달함수 3.

크기와 위상각은

기본요소의 주파수 전달 함수의 벡터 궤적(Nyquist plot)

2차 지연 요소

여기서 ωn은 고유 진동 각 주파수 이다.
크기와 위상각은

이제 주파수가 0에서 ∞로 변할 때 벡터의 궤적을 그려 보자.

우선,

이므로, 

그리고 λ가 ∞로 갈 때를 보자.

크기는 0이 되는것을 알 수 있고, 위상각은 atan(∞/∞)가 되버리므로 이를 다시쓰면,

여기서 δ=0.5라 가정하고 λ를 ∞로 보내면,

atan(b/-a)는 180-atan(b/a)로 쓸 수 있으므로,

(아래 그림 참고)

최종적으로 아래와 같은 결론이 나오게 된다.

위에서 구한 답들을 가지고 그래프를 그려보면,

부동작 요소

<벡터 궤적의 특징>

CASE 1

벡터 궤적은 다음과 같다.

검은색, 파랑색, 주황색, 녹색, 빨강색 순으로
분모의 (1+TnS)의 개수가 한 개, 두 개, ... , 다섯 개인 경우의 벡터 궤적이다.

즉, 분모의 (1+TnS)의 개수가 하나 씩 증가 할 수록 주파수가 무한대에서의 벡터 위상각은
-90도씩 증가 한다.

CASE 2

왼쪽 그림은 l=1일 때, 오른쪽 그림은 l=2일 때 이다.
검은색은 (1+TnS)가 한 개, 빨간색은 두 개, 녹색은 세 개 이다.

즉, 궤적의 시작 위상각은 s가 1일 때 -90에서 시작 해서 s의 차수가 하나 증가 할 때마다
-90도씩 증가한다.

주파수 응답 특성을 도해적으로 나타내는 또 한가지 방법

→로그크기 대 위상선도(Log magnitude-versus-Phase plat)
Nichols 선도라 부른다.

관심 주파수 범위에 대해 데시벨 단위의 로그크기를 위상각 또는 위상 여유에 대해 그린것.
(위상 여유: 실제 위상각 φ와 -180 ˚사이의 차이. 180 ˚ + φ)

나이퀴스트 선도와 니콜스 선도의 관계