[Engineering Math.] Fourier Integral (푸리에 적분)

위 그래프와 같이 주기가 2L인 경우에는 Fourier series로 함수를 구하면 되지만,
아래와 같이 주기가 무한대로 가버린 경우,
즉 그래프는 시간이 무한대로 흐르는 동안 단 한번 나타난 경우,
이 그래프의 푸리에 함수는 어떻게 구할까?

 

Fourier Integral식을 유도 해 보자.
우선 임의의 주기를 가진 주기함수의 Fourier series는 다음과 같다.

Fourier coefficient는 다음과 같이 구해 진다. 

coefficient를 위 식에 대입해 보자.
(이 때, a0는 0이 되는데 주기가 무한대이기 때문에 밑넓이의 평균은 당연히 0이 된다.)
식은 다음과 같이 되고,

π를 곱했다가 다시 나눠 주면,

다음과 같이 된다.

정리 하면,

이것이 Fourier Integral 식이고
Coefficient는

즉, Fourier Integral은 Fourier series에서 주기 L이 무한대로 확장된 경우 라고 볼 수 있다.

Fourier Integral도 Fourier Series에서와 마찬가지로 우함수의 경우에는 Fourier Cosine Integral,
기함수의 경우에는 Fourier Sine Integral이 된다.

그럼 다음과 같은 함수의 Fourier Integral을 구해 보자.

지수 함수 형태 인데, 0이하 영역은 고려하지 않은 그래프 이다.
이런 형태의 함수는 다음과 같이 우함수라 가정하여 풀어도 되고,

아니면 아래와 같이 기함수로 가정하여 풀어도 된다.

우함수라 가정하고 풀어보면,

로 구해 지고 이를 이용하여 Laplace는 다음을 유도해 내었다.

이를 Laplace integral이라 한다.
즉, 위와 같이 풀리지 않는 적분을 Fourier integral을 사용하여 풀어 낸 것이다.