[Engineering Math.] Partial Differential Equation (편미분 방정식) 3

2차원 파동방정식

2차원 파동방정식의 경우는 어릴 때 많이 타고 놀던 콩콩(지역마다 이름이 많이 달라..)을
생각 하면 된다. 탄성이 있는 넓은 면이라 생각 하면 되는데, 경계선에서의 움직임은 0 으로
고정되어 있다고 가정 한다. 1차원 파동 방정식에서와 마찬가지로 단위면적당 질량은 일정,
중력 영향 무시, 횡방향 운동 무시를 가정 한다.

식 유도는 여기서 생략 하기로 하고, 그럼 2차원 파동방정식은 어떤식으로 문제를 풀어가는지
보도록 하자. 우선 공간변수가 2개에 각각 두번씩 미분 되어 있으므로 B.C은 총 4개가 필요하고
시간 변수에 대해 두번 미분 되어 있으므로 I.C은 총 2개가 필요하다.

B.C은 경계면에서 고정 되어있다는 가정에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

또한 I.C은 다음과 같이 정의한다.

u(x,y,t)=F(x,y)G(t)로 가정하고 문제를 풀면,

다음과 같이 시간변수를 갖는 상미분 방정식 하나를 도출해 낼 수 있고,

공간변수를 갖는 함수는 다시 F(x,y)=H(x)Q(y)로 가정하여 문제를 푼다.

최종적으로 세개의 상미분 방정식을 얻을 수 있다.

공간변수에 대한 상미분 방정식들을 우선 풀어 보면,

A,B,C,D 총 4개의 미지의 계수가 나타나게 되고, 이들을 구하기 위해 B.C을 사용하면,

다음과 같이 정리 할 수 있고,

H(x)식에서 m항과 Q(y)식에서 n항은 서로 다를 수 있으므로 구분해서 표기 하였다.
최종적으로 H(x)와 Q(y)는 다음과 같이 구해지고

계수 B와 D는 뒤에서 풀게될 시간변수에 대한 상미분 방정식의 해로 부터 나오는 계수와 
같이 합쳐 질 것이기 때문에 여기서 따로 구하지 않아도 된다.  

이제 시간변수에 대한 상미분 방정식을 풀어보자.

λ또한 경우 위 그림에서 보이듯이 m과 n에 대해 계속 바뀌기 때문에 λm,n으로 표기 하며
따라서 G의 경우도 마찬가지로 Gm,n으로 표기한다.

u식의 Bm,n과 Bm,n*에 앞서 마저 구하지 않았던 B와 D계수가 포함 되어 있다.
구해낸 u에서 I.C과 Fourier를 이용해 나머지 계수들을 구한다.

구해진 Bm,n은 다음과 같다.

나머지 I.C를 이용해 Bm,n* 도 구해낸다.

이로써 최종적으로 Bm,n*도 구해 내었다.