[Engineering Math.] Partial Differential Equation (편미분 방정식) 1

편미분 방정식이란 미분 방정식의 독립변수가 2개 이상이고 미분이 최소 2개 이상의 변수 각각에 대해
다 취해 지는 방정식을 일컫는다. 모든 독립변수에 대해 미분이 되어있지 않아도 최소2개 이상의
독립변수를 가진 방정식에 대해 최소2개 이상의 변수가 미분되어 있다면 편미분 방정식이다. 예를들어 독립변수가 4개인데 그 중 3개의 변수에 대해서만 미분이 이루어져 있다 해도 편미분방정식이다.

대표적인 편미분 방정식은

위에서 부터 1차원 파동방정식, 1차원 열전도 방정식(또는 Diffusion 방정식),
2차원 Laplace방정식, 2차원 Poisson방정식.

그리고 2차원 파동방정식과 3차원 Laplace방정식이 있다.

차원은 공간좌표의 개수에 의해 결정 된다.

1차원 파동방정식의 유도

위 그림과 같이 양끝이 팽팽히 고정되어 있는 고무줄을 손으로 튕겼을 때 고무줄의 운동을
편미분 방정식으로 나타낼 수 있다. 식을 유도 하기 이전에 세 가지의 가정을 세운다.

① 중력의 영향은 무시한다. (정지 상태에서 고무줄은 쳐져있지 않고 팽팽하다.)
② 종 방향 운동만 존재한다. (위 아래 운동만 존재.)
③ 단위 길이당 질량은 일정하다. (고무줄의 굵기는 일정)

단위 길이당 고무줄의 질량을 ρ, 고무줄의 총 길이는 L, 장력을 T라고 하자.

운동이 진행 중인 고무줄의 아주 작은 조각을 보면, 위 그림과 같다.
u는 고무줄의 높낮이를 나타낸다.
이 작은 고무줄 조각의 양단에 걸리는 장력은 접선 방향으로 발생 하며 횡 방향 운동은
존재하지 않으므로 T1에 의해 발생하는 왼쪽방향 힘과 T2에 의해 발생하는 오른쪽방향 힘은
서로 같다.

종방향 운동에 대한 힘은 다음과 같이 표현 할 수 있다. 

여기서 횡방향 운동에 대해 세운 식에 의해

이므로

tan=(u방향 변화율/x방향 변화율) 이므로

T를 우변으로 Δx를 좌변으로 넘겨 정리한 후 ρ/T를 다시 좌변으로 넘기면 최종적으로

여기서 T와 ρ는 양수이기 때문에 T/ρ는 항상 양수라는 뜻에서 C²을 쓴다.
이렇게 1차원 파동 방적식을 구해 냈다.

1차원 파동 방정식 문제를 푸는 방법

공간과 시간에 대한 미분으로 이루어진 편미분 방정식을 풀 때는
Boundary condition(이하 B.C)과 Initial condition(이하 I.C)이 필요한데,
공간에 대해 2번 미분이 되어있다면 B.C는 2개가 필요하고,
시간에 대해 1번 미분이 되어있다면 I.C는 1개가 필요하다.

상미분 방정식은 B.C나 I.C가 없더라도 해를 구할 수 있고 그 해의 형태는 정해져 있는 반면
편미분 방정식은 B.C나 I.C가 없으면 해의 형태 조차 가늠할 수 없다.
따라서 편미분방정식은 각각의 독립변수에 대해 미분차수 만큼의 조건이 주어져야 한다. 

1차원 파동 방정식의 경우 공간변수에 대해 2번 시간변수에 대해 2번 미분되어 있기 때문에
B.C는 2개, I.C도 2개가 필요하다. 

편미분방정식을 푸는 절차는 다음과 같다.
① u(x,t)=F(x)G(t) 와 같이 변수를 분리해 내어 상미분 방정식을 도출해 낸다.
② B.C를 이용해 상미분 방정식들을 푼다.
③ I.C를 이용해 B.C와 I.C를 모두 만족하는 해를 최종적으로 찾아 낸다.

B.C를 먼저 보자. 고무줄은 양끝 x=0과 x=L인 지점에서 고정되어 있기 때문에
u(x,t)는 시간 t가 얼마나 변하던 간에 x=0인 지점과 x=L인 지점에서 0 이다.
즉, Boundary Condition은 다음과 같다.

Initial Condition은 초기 시간(내가 관찰하기 시작한 시점)에서의 고무줄의 형태와 속도를
나타 내고 이들을 임의의 함수 f(x)와 g(x)라 두자. (u'=δu/δt )
General한 solution을 구하기 위해 임의의 함수 f(x)와 g(x)를 두었지만 정확한 답을 얻기 위해선
이 함수들이 정확히 주어져야만 해를 구할 수 있다.

u(x,t)를 공간변수로 이루어진 함수 F(x)와 시간변수로 이루어진 함수 G(t)의 곱으로 이루어져
있다고 하자. 즉, u(x,t)=F(x)·G(t)로 두자.

위의 마지막 식은 1차원 파동 방정식을 다시 쓴것인데,
좌변은 t에 대한 함수이고 우변은 x에 대한 함수인데 독립변수가 다른 두 항이 항상 같다는 것은
두 항 모두 상수라는 것이라는 뜻이며 따라서 이들을 모두 상수 K로 둘 수 있다.   
결과적으로 1차원 파동방정식으로 부터 두개의 상미분 방정식을 도출해 낼 수 있다.

공간변수에 대한 미분과 시간변수에 대한 미분을 구분하기 위해 미분기호를 다르게 표시 하였다.

그럼 이제 K의 정체를 알아 내야 한다. B.C를 이용하여 상미분 방정식을 풀기 이전에,
K에 대한 정보가 있어야 풀 수 있을 텐데, 아직 상수 K가 양수인지 음수인지, 또는 0 인지를
모르기 때문에 각각의 경우에 대해 문제를 풀어 K에 대해 알아내 보자.

B.C에 의해 F(0)과 F(L)이 0 이라는 것을 알 수 있고,

우선 K>0 인 경우

즉, K>0 인 경우는 Trivial sol을 갖기 때문에 K>0 인 경우는 불가능하다.
다음 K=0 인 경우를 보자.

이 경우도 마찬가지로 Trivial sol을 갖는다.
마지막으로 K<0 인 경우 K는 항상 0보다 작다는 의미로 -P² 으로 두고 풀면,

문제가 풀리는 것을 알 수 있다.
이로써 K는 항상 0보다 작아야 한다는 것을 알 수 있고, 공간변수에 대한 상미분 방정식의 해도
구해 냈다.

이제 K=-P² 으로 두고, 시간 변수에 대한 상미분 방정식을 풀어 보자.

중간에 C²P²을 λn²으로 두었는데 P(= nπ/L)값이 n항 마다 틀려 지기 때문에
λn도 마찬가지로 n항 마다 틀려진다는 의미로 n을 붙인다.
Fn과 Gn에 n이 붙은 것 또한 같은 이유에서다.

최종적으로 우리는 Un을 구해 내었다.

일반식으로 쓰면,

이제 남은것은 계수 Dn과 Dn*을 구하는 것이다. 
이제 Initial condition을 이용하여 B.C도 만족하면서 I.C도 만족 할 수 있는 해를 구한다. 
위에서 구한 u(x,t)에 시간 t=0을 대입해서 풀면 이것이 Fourier 급수라는 것을 알 수 있다.

<푸리에 급수에 관한 글은 아래를 참고바람>
2011/09/21 - [Studies/Mathematics] - [Engineering Math.] Fourier Series (푸리에 급수)

Fourier 급수의 계수 Dn을 구하기 위해선 Fourier 급수가 최종적으로 표현 하고자 하는 함수가
필요하다. 앞서 우리는 Initial point에서의 고무줄 형태를 f(x)로 뒀기 때문에 이용하여 계수 Dn을
구해 낼 수 있다.

또한 앞서 우리는 시간이 0일 때의 고무줄의 속도를 g(x)라는 함수 형태로 가정을 했다.
u(x,t)를 먼저 미분 한 후 t=0을 대입하면, 마찬가지로 Fourier 급수가 나오는 것을 알 수 있고,
이 급수가 g(x)를 표현하고 있으므로 푸리에 계수 Dn*의 값을 구해 낼 수 있다.

 

이로써 1차원 파동 방정식의 해 u(x,t)를 완벽히 구해 내었다.