[Engineering Math.] Ordinary Differential Equation (상미분 방정식) 3

이제 다음과 같은 Spring mass system을 통해 미분 방정식이 가지고 있는 의미를 생각해 보자.

                                     (a)                                (b)

(a)의 경우는 Spring-mass-damper system이고
(b)의 경우는 damper가 없는 Spring-mass system이다.
(m:물체의 질량, k:스프링 상수, c:damping ratio)

우선 (b)의 경우 부터 생각 해 보자. 
External force가 전혀 없다고 가정 했을 때, (b)의 운동방정식은 다음과 같다.

y는 이 시스템에서 물체(M)의 변위가 될 것이다.
이 시스템은 Damper가 없고 External force 또한 없는 상태인데,
Homogeneous equation이므로 해를 구해 보면,

즉, 마지막 줄이 의미하는 것은 '진동' 이며 ω0는 이 시스템이 가지고 있는 고유 진동 주파수 이다.
고유 진동 주파수는 질량과 스프링상수가 정해지는 순간 결정 되며 이를 바꿀 수 있는 방법은
물체의 질량이나 스프링상수를 임의로 변경 시키는 것 외엔 없다.
①의 유도는 페이지 맨 아래에 나와 있다.


이번엔 (a)의 경우를 생각 해 보자.
(a)의 경우에는 두 가지를 생각해 볼 수 있는데 External Force가 있는 경우와 없는 경우이다.
여기서 External Force란 사람이 물체(M)을 손으로 쥐고 임의로 위아래로 흔드는 경우이다.

External Force가 없는 경우의 운동 방정식은
선형 Homogeneous 2nd ODE가 될 것이다.

앞서 2차 선형 상미분 방정식의 풀이방법 2번째 에서 보았 듯이 ↓
2011/09/14 - [Studies/Mathematics] - Differential Equation (미분 방정식) 2
판별식을 통해 이 시스템이 안정성을 가늠해 볼 수 있다.
이상적인 시스템은 Critical damped system이다. 하지만 이는 불가능 하다.
따라서 보통 Critical damped에 가까운 Underdamped system으로 설계한다.
즉, 다음의 판별식에서 

이면, Underdamped system이다.
H.S(Homogeneous solution)을 구해 보면,

β는 Damper가 달린 시스템의 고유 진동 주파수 이다.

이제 (a)시스템에서 사람이 물체를 쥐고 임의로 흔든다면 어떻게 될까??
시스템의 고유 진동 주파수를 ω0, 사람이 물체를 흔드는 주파수를 ω라 하자.
운동 방정식은

H.S은 위에서 이미 구했고, P.S을 구해 보면,

원래 식에 대입하고 미정계수법으로 풀면,

다시 정리 하면,

(이미지 출처: http://www.viewinternational.org/democds/democd3/htmlstructure/
engineering_controlsystems_dynamics_pg_1.html)

그렇다면, 만일 (b)와 같이 damper가 없는 시스템에서
사람이 물체를 쥐고 흔든다면 어떻게 될까??

운동 방정식은 다음과 같다.

앞서 우리는 댐퍼가 있는 시스템에서 사람이 임의로 물체를 잡고 흔드는 경우를 생각 해 봤다.
External force의 형태(r(x)의 형태)가 같으므로 P.S(Particular solution)의 형태도 같다.
또한 앞서서 댐퍼가 없는 시스템에서의 Extermal force가 없는 경우도 생각해 보았다. 
그 경우가 바로 이 시스템에서의 H.S(Homogeneous solution)이다.
따라서 이 시스템의 G.S(General solution)은

Damper가 없는 시스템 이기 때문에 c=0 대입 하면 최종적으로

위는 시스템의 고유 진동 주파수와 사람이 흔드는 주파수가 다를 때의 해이다.


그럼 주파수가 다르긴 한데, 거의 같다면?? 다시 말해 두 주파수의 차가 아주 적다면??
어떤 현상이 나타날까??

위의 Solution은 Damper가 없는 Mass-spring 시스템에서 물체를 임의로 잡고 흔들 때,
물체의 변위를 나타 낸다. 그럼 시간 t=0 에서, 즉 물체가 equilibrium position에 있는 경우
또는 물체를 잡고 흔들기 직전 상태에서는 y(0) = y'(0) = 0 을 만족 한다. 
(변위도 0 속도도 0 이니깐) -->> 이건 내 생각인데 맞는지 모르겠다...잡고 흔들기 직전이라고
한다면 External force가 0이라 봐야 하는건가...그럼 Homogeneous equation을 푸는게 될테고..
혹시 이 부분 개념을 알고 계시는 분은 댓글로 좀 가르쳐 주세요..^^;

따라서 다음을 도출 해 낼 수 있다.

이를 이용하여 앞서 구한 G.S을 다시 써보면,

|ω0-ω|가 아주 작은 값이기 때문에 sin{(ω0-ω)t/2}는 period가 매우 크다는 것을 알 수 있고

y의 곡선은 sin을 그리며 진동하면서 amplitude또한 사인 곡선을 그리며 변화하는 형태가
될 것이다.

결과는 다음과 같다.

이를 '맥놀이 현상' 'Beats of sound' 등등으로 불린다.
<이미지 출처: http://www.math.ksu.edu/math240/book/chap2/forcedmot.php>


만일 두 주파수가 같다면??

시스템의 고유 진동 주파수와 External force의 주파수가 같을 때 우리는 공진(Resonance)현상
이라 한다. 공진 현상은 우리 주위에서도 쉽게 볼 수 있는데 아무리 큰 빌딩이라도 살랑대는
봄바람에 무너질 수 있는 것이 바로 '공진'이다. 빌딩의 고유 진동주파수와 봄바람이 건물을 
주기적으로 때리는 주파수가 일치하게 되면 건물은 쉽게 무너져 버린다. 
설악산의 흔들바위를 쉽게 떨어뜨리는 방법은 흔들바위가 가지고 있는 고유 진동 주파수와 
사람이 흔들바위를 미는 주파수가 일치 되어 공진을 일으키기 시작하면 쉽게 떨어 뜨릴 수 있다.
(참~ 쉽죠??)
그럼 시스템의 고유진동주파수와 External force의 주파수가 같을 때 (공진이 일어날 때)의 
그래프를 보자. 그래프를 그리기 전에 우선 두 주파수가 같을 경우의 G.S을 구해보면,

운동 방정식은 위와 같기 때문에 H.S과 P.S이 같아 지므로 P.S의 형태는 다음과 같고

미정 계수법으로 a와 b를 구하면

H.S은 앞서 구한것과 동일 하므로

이 해의 그래프는 

이와 같이 나타 난다. 진폭이 t로 인해 선형적으로 증가하는 형태이다.
즉, 공진이 일어나게 되면 건물의 흔들림은 점점 발산하게 되어 결국 무너지게 되고 
흔들바위도 점차 크게 흔들리다 결국 떨어지게 될 것이다.
<이미지 출처: http://www.math.ksu.edu/math240/book/chap2/forcedmot.php>
  

위 그림은 External force의 주파수와 시스템 고유 진동 주파수의 차가 매우 큰 상태에서 시작해
두 주파수가 같아질 때 까지 External force 주파수를 점점 변경 시키는 동안 해의 그래프 변화를
보여 주고 있다. 두 주파수가 거의 같아 지는 부분에서 맥놀이 현상이 발생하고
마지막에 두 주파수가 같아 졌을 때 공진 현상이 발생하는 것 까지 보여 주고 있다. 
<이미지 출처 : http://www.rhitt.com/courses/507/fa00/maple/html/forcedoscillations.html> 

① 유도