[Engineering Math.] Ordinary Differential Equation (상미분 방정식) 1

미분 방정식은 다양한 분야에서 사용되며 주로 어떠한 시스템을 수학적으로 모델링 할 때에
많이 사용된다. 미분 방정식은 가까운 미래의 일을 예측 할 수 있는 기능을 가지고 있다.
(먼 미래의 일을 예측 하기 위해서는 여기에 확률, 통계적인 요소가 첨가 되어야 한다.)

상미분 방정식(Ordinary Differential Equation)을 줄여서 O.D.E라 한다.
편미분 방정식(Partial Differential Equation)은 P.D.E.

여기서 다룰 내용은 상미분 방정식에서도 선형(Linear)인 선형 상미분 방정식의 풀이방법이다.
선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현된다.

1차 선형 상미분 방정식:  y' + p(x)y = r(x)
2차 선형 상미분 방정식:  y'' + p(x)y' + g(x)y = r(x)
3차 선형 상미분 방정식:  y''' + p(x)y'' + g(x)y' + l(x)y = r(x)
(상미분 방정식은 독립변수 하나에 종속변수가 하나이므로 y'=dy/dx로 표현 가능 하다.)

여기서 y변수 앞의 계수들이 위와 같이 x로만 표현 될 수 있으면 선형이며,
그렇지 않다면 비선형이다.
1차 선형 상미분방정식은 총 6가지의 방법으로 풀 수 있다. 

1차 선형 상미분방정식을 푸는 6가지의 방법을 살펴 보자.

1. 변수 분리법

2. 치환을 통한 변수 분리법의 활용

3. Exact Method

다음과 같은 선형 상미분 방정식이 있다.

이런 형태의 미분 방정식의 풀이법은 다음과 같다.
우선 하나의 가정을 세운다.

우리가 최종적으로 구하려고 하는 함수 식을 u라고 했을 때, 
M은 u식을 x에 대해 편미분을 한 것이고, N은 u식을 y에 대해 편미분 한 것이라 가정 한다.
그러면 다음과 같이 M을 y에 대해 미분하고, N을 x에 대해 미분하면 
두 값은 같아 질 것이다.  

그렇다면, 다음의 식을 써서 u를 구할 수 있다. 

왜냐하면, 식 u를 x에 대해 편미분 했을 때에는 x항의 미분값만 남고 y항은 제거 될테고,
식 u를 y에 대해 편미분 했다면 y항의 미분값만 남고 x항은 제거될 것이기 때문에
u식을 2가지 루트로 구할 수 있다.

M을 x에 대해 적분한 후 제거 되었던 y에 대한 항을 더해서 구하거나
N을 y에 대해 적분한 후 제거 되었던 x에 대한 항을 더해서 구할 수 있다.
제거 된 항들에는 당연히 적분 상수도 포함 되어 있을 것이다.

다음 예제를 보자.

예제 1) 다음과 같은 미분 방정식이 있을 때,

우선 M과 N을 위 처럼 정의 하고, 조건을 만족하는지 검사 한다.

조건을 만족하므로 앞서 보았던 정리를 사용할 수 있고, 가정 또한 만족 한다.
u를 구해 보면,

(여기서 사용한 방법은 M을 x에 대해 적분하고 편미분에 의해 소거 되었던 y에 대한 항을
구하는 방법이다.)

k(y)를 구하면,

최종적으로 u를 구해 낼 수 있다.

예제 2)

(여기서 사용한 방법은 N을 y에 대해 적분하고 편미분에 의해 소거 되었던 x에 대한 항을
구하는 방법이다.)

4. Reduction to Exact Method 

3번과 같은 문제에서 다음이 성립 되지 않는 경우가 있다.  

 

이런 경우에는, 각 함수 M,N 앞에 Integrating Factor F(x,y)를 양변에 곱하여

다음이 성립하도록 만드는 것이다.

즉, F·P를 M으로, F·Q를 N으로 보고 3번과 같이 Exact Method를 사용하여 문제를 풀면 된다.

Integrating Factor F(x,y)를 구하는 방법을 보자.
F는 x만의 함수이거나 y만의 함수이어야 한다.
(3번에서 Exact Method로 풀지 못하면 여기서와 같이 양변에 Integrating Factor를 곱해
풀어보면 된다. 하지만 F가 x만의 함수도, y만의 함수도 아닌게 나오게 되면 이 방법으로
조차 풀수 없는 문제이니 다른 방법을 생각 해야 한다.)

우선, F를 구하는 식은 다음과 같이 두가지 이다.
만일 F가 x만의 함수라면 다음과 같이 구할 수 있고

F가 y만의 함수라면 다음과 같이 구할 수 있다.

적분 안에 들어가 있는 R값은 다음과 같이 구한다.
F가 x만의 함수라면,

 

F가 y만의 함수라면,

이렇게 구해낸 Integrating factor F를 양변에 곱한 후
3번과 같이 Exact Method를 사용하여 문제를 풀면 된다.

다음 예제를 보자.

예제)

이 방정식은 다음의 조건이 성립 되지 않으므로, 

Integrating Factor를 구해 보면,

1. 우선, F가 x만의 함수라 가정해 보면

이는 변수 y를 포함하고 있으므로 x만의 함수가 아니다. 이는 사용할 수 없다.

2. 그렇다면 F가 y만의 함수라 가정해 보자.

-1은 x만의 함수라 할 수도 있고, y만의 함수라 할 수도 있으므로 이를 사용하여 F를 구해 보면

F를 양변에 곱하면,

이제, 이 식을 Exact Method를 사용하여 풀면 답을 찾을 수 있다.

5. 선형 공식을 이용한 풀이 방법

앞서 선형 1차 상미분 방정식의 풀이 방법들을 봤는데,
지금 소개할 방법은 '만능 선형 1차 상미분 방정식 풀이기' 이다.

즉, 앞서 소개 했던 방법들을 죄다 모른다 해도 이 방법 하나만 알고 있으면
모든 선형 1차 상미분 방정식의 해를 구할 수 있는 것이다.
(그럼 왜 앞서 소개 했던 방법들을 배울까?? 지금 소개할 방법으로 풀면 죄다 풀릴 텐데.
앞서 설명한 방법들은 특정 형태의 방정식에서 해를 찾을 수 있는 지름길을 설명해 준것일 뿐이다.
앞의 예제들을 지금 소개할 방법으로 풀어 보라. 풀리긴 하겠지만 시간이 더 많이 걸릴 것이다.)

다음과 같은 1차 선형 상미분 방정식이 있다고 할 때,

일반해(General solution, 이하 G.S)는 Particular solution(이하 P.S)과
Homogeneous solution(이하 H.S)으로 구성 되어있다.
위 식에서 우변 r(x)가 0인 경우를 Homogeneous equation,
0이 아닌경우를 Nonhomogeneous equation이라 하는데, Homogeneous식의 해를 Homogeneous solution, Nonhomogeneous식의 해를 Particular solution이라 한다.
G.S은 항상  P.S + H.S로 표현 되는데, H.S만으로는 충분히 의미가 있을 수 있지만,
P.S만으로는 의미가 없으며 P.S만 존재 할 수도 없다.
H.S은 알다 시피 r(x)가 0으로 두고 풀면 구할 수 있다.

위와 같은 1차 선형 상미분 방정식의 일반해(G.S)는 다음의 공식을 사용하여 구할 수 있다.

이 식의 유도과정은 이 페이지 제일 아래에 있다. 

만일 일반해가 아닌 Homogeneous sol.만을 구하려고 하는 경우에도
위 식을 그대로 사용할 수 있는데, H.S의 경우 위 식에서 우변 r(x)=0인 경우의 해 이기 때문에

에서 r에 0을 대입해 보면, 위 식의 첫 번째 항은 0이 되고 뒤의 C·e^(-h)만 남는다. 
남은 Ce^(-h)이 Homogeneous solution이다.

예제를 풀어보자.

예제 1)

풀이

예제 2)

풀이

6. Bernoulli's Equation (베르누이 방정식)

이 페이지의 맨 앞에서 미리 말을 한대로, 상미분 방정식의 변수 앞의 계수들이 
x로만 표현 될 수 있으면 선형이라고 했지만, 베르누이 방정식의 경우 비선형이다.
베르누이 방정식은 다음과 같다. 

즉, 5번에서 본 식에서 r(x)자리에 y의 상수승이 곱해져 있는 형태 이다. (a=상수)
이 식은 비선형 방정식이지만, 다른 비선형 방정식과 다르게 베르누이 방정식만은 
5번 에서와 같이 선형 공식을 이용하여 풀 수 있다. 

우선 위와 같이 치환 후, 미분 하면,

이 되고, y^(1-a)=u 이므로 정리 하면

이제 이 식에 5번에서 썼던 공식을 그대로 사용하여 풀면 된다. 
예제를 보자.

예제)

풀이

 

※ 5번에서 사용한 공식 유도


편의상 다음 식을 1 식이라 하자.