[Engineering Math.] Ordinary Differential Equation (상미분 방정식) 2

이번엔 다음과 같은 2차 선형 상미분방정식의 풀이 방법을 보자.

2차 선형 상미분 방정식의 풀이방법은 두 개로 나뉜다. 
Homogeneous solution(H.S)을 구하는 방법과 Particular solution(P.S)을 구하는 방법.
General solution(G.S)는 H.S와 P.S로 이루어져 있으며, 이 중에서 H.S를 구하는 방법은 총 3가지, 
P.S를 구하는 방법은 총 2가지 이다. Particular solution을 구할 때에는 먼저 설명할 3가지 방법을
이용하여 Homogeneous solution을 먼저 구한 뒤 구하는 것이 좋다.
 
기본적으로 선형 2차 상미분 방정식의 Homogeneous solution은 2개 존재하며
(3차는 세개 4차는 네개.. )선형 이므로 이 두 해의 linear combination 또한 해가 된다.
(y1과 y2가 H.S라면 c1y1+c2y2 또한 H.S. c1,c2 는 상수)
그리고 y1과 y2는 linearly independent 해야 한다.(선형 독립)

즉, 2차 선형 상미분 방정식은 
" linearly independent 한 2개의 해 " 가 존재 한다.

우선 Homogeneous solution을 구하는 세 가지 방법을 설명 한다.

방법 1. When y1 is known

처음 방법은 두개의 해 중 하나의 해를 알고 있을 때 나머지 하나의 해를 구하는 방법이다.
다음의 공식을 사용하면 된다.

공식 유도는 페이지 맨 아래에 있다.

예제)

풀이

 

방법 2. When p(x), q(x) are constants

계수들이 모두 상수 일때, y를 치환하여 계산한다.

CASE 1) λ = 두 실근

CASE 2) λ = 중근

CASE 3) λ = 두 허근

2차 상미분 방정식 y''+ay'+by=0 에서 계수 a는 Damping factor 라 한다.
분석해 보면, CASE 1의 경우 a²-4b>0 이므로 a의 값이 b값에 비해 상대적으로 크고,
이 때를 Overdamped라 한다. 
CASE 2의 경우에는 a²-4b=0 이며 이 때 가장 적절하게 damping 된다. Critical damped,
CASE 3의 경우에는 a²-4b<0 이고 a값이 b값에 비해 상대적으로 작다. Underdamped.    

각 CASE에 대해 해 그래프를 그려 보면 아래와 같다.

방법 3. Euler-Cauchy Equation

다음과 같은 형태의 방정식을 코시-오일러 방정식이라 한다. 이것의 풀이 방법은
앞서 설명한 방법 2와 같이 y를 치환 하여 푸는데 조금 다르게 치환 해야 한다.

 

CASE 1) m = 두 실근

CASE 2) m = 중근

CASE 3) m = 두 허근

이제 Particular solution을 구하는 두 가지 방법을 설명 하겠다.

방법 4. 미정 계수법

미정 계수법으로 푸는 방법은 세 개의 작은 가지로 다시 나눌 수 있다.
ⓐ Basic rule, ⓑ Modification rule, ⓒ Sum rule
기본형은 Basic rule이며 Modification rule과 Sum rule은 Basic rule의 아류라 할 수 있겠다.

아래 표는 위와 같은 2차 선형 상미분 방정식의 r(x)의 형태에 따른 P.S의 값을 보여주고 있다.

이 방법은 p(x)와 q(x)가 constant로 나타날 경우에만 사용할 수 있다는 단점이 있고
또한 위의 표와 다른 r(x)의 형태가 나타나게 되면 이 방법을 사용할 수 없다. 

Basic rule을 이용하여 다음 예제를 풀어 보자.

예제)

 

이번엔 다음의 예제를 통해 Modification rule에 대해 알아 보자.

예제)

마지막 예제를 통해 Sum rule에 대해 알아 보자.

예제)

방법 5. Variation of parameters(매개변수변환법)

다섯 번째 방법은 Lagrange가 유도한 공식을 사용하여 푸는 방법이다.
앞서 보았던 풀이 방법은 coefficient가 constant여야 하고 r(x)의 형태가 표에 소개된 것과
비슷한 형태를 가질 때만 풀 수 있는 반면 이 방법을 사용하면 좀더 일반적으로 해를 구할 수 있다.
왜냐하면 어떠한 형태의 방정식이라 할 지라도 H.S만 구할 수 있으면 P.S을 구할 수 있는
공식이기 때문이다. 우선 2차 선형 상미분 방정식의 경우 H.S 두 개를 먼저 구한 뒤 다음의 공식을
사용하면 P.S을 구할 수 있다.

이 공식의 유도는 페이지 맨 아래에 있다.

예제)

방법 1에서 사용한 공식의 유도

위와 같은 2차 선형 상미분 방정식의 Homogeneous solution의 해 중 하나를 y1이라 할 때,
나머지 H.S y2를 구하는 공식은 다음과 같이 유도 한다.
편의상 위 식을 ①식이라 하자.

방법 5에서 사용한 공식의 유도

우선 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 있다고 하자. 이 방정식을 편의상 ①식 이라 하자.

그럼 이 방정식의 H.S을 2개 구할 수 있다. 각각을 y1, y2 라 하자. 
우리가 한 쌍의 함수 u(x), v(x)를 찾을 수 있다고 한다면 다음과 같이
H.S과의 Linear combination또한 방정식의 해가 될 것이다. 

이것을 P.S이라 두자.
이 방정식을 ①식에 대입하기 위해 미분을 하면,

여기서 한가지 가정을 세운다.
한번 미분한 식을 좀더 간결하게 만들기 위해 u,v가 어떤 함수더라도 다음을 만족한다고 하면,

이 식을 ②식이라 하자.
그럼 식을 아래와 같이 다시 쓸수 있고,
이를 한번더 미분한다.

이 두식을 ①식에 대입하면,

정리하면,

식을 하나 더 얻을 수 있다.

이 식을 ③식이라 하자.
②식을 다음과 같이 다시 정리 할 수 있고,

이 식을 ③식에 대입 하면

이와 같이 u'도 유도 하면

Wronskian W=y1y2'-y1'y2 이므로

결론적으로 P.S은