[Engineering Math.] Partial Differential Equation (편미분 방정식) 2

1차원 열전도 방정식

1차원 열전도 방정식의 풀이도 1차원 파동방정식의 풀이와 크게 다를게 없다.
여기선 1차원 열전도 방정식의 유도는 생략하고 풀이 방법에 대해서만 다루겠다.
여기서 C²은 다음과 같다.

아래와 같이 길이가 L인 아주 가는 쇠막대가 있다고 하자. (가늘지 않으면 2차원 방정식이 된다.)

막대 위치에 따른 온도 분포를 x함수로 보고 시간에 따라 이 온도 분포가 어떻게 변하는지를 보자.

위 그림은 막대를 가열했을 때, 막대의 위치에 따른 온도의 분포 그래프를 나타낸다.
막대가 가진 열은 막대 양 끝단을 통해 빠져 나간다고 가정했을 때, 막대의 양 끝에서의 온도는
항상 0이므로 Boundary Condition은

또한 시간변수에 대해 미분은 한번 이루어졌으므로 Initial Condition은 하나이며
초기 상태에서의 온도 그래프를 f(x)라 하면,

이제 문제를 풀어보자.

두개의 상미분 방정식을 도출 해 냈고,

두 상미분 방정식의 해를 찾아 냈으며

따라서 u(x,t)의 형태를 찾아낼 수 있고,
마지막으로 I.C을 사용하여 미지의 계수를 구해 낸다.

최종 답은 다음과 같다.

Laplace equation

Laplace equation은 2차원 열전도 방정식에서 도출해 낼 수 있다. 

이와 같은 2차원 열전도 방정식에서 이것이 Steady-state 상태가 되어 time independent
problem이 되면, δu/δt=0 이므로 좌변은 0이 되어 라플라스 방정식이 된다.
2차원 열전도 방정식은 앞서 본 1차원과 크게 다를것이 없고 단지 영역이 직선에서
평면으로 확장 된 것 뿐이다. 즉, 평면 전체의 온도 분포가 시간에 따라 어떻게 바뀌는지를
보는 것이다. 라플라스 방정식은 2차원 열전도 방정식에서 δu/δt=0인 상태 이므로
어느 점에서도 흡열이나 발열이 없고 모든 영역위의 점에서 온도를 일정하게 유지하고 있는
상태이므로 특정 영역의 경계면의 온도를 특정 온도로 일정하게 계속 유지한 채,
영역 내부의 온도가 더이상 변하지 않을 때 까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는
디리클레 문제로 해석할 수 있다.

u는 Cartesian coordinate의 z축에 해당한다.

※ 참고 : 디리클레 문제(Dirichlet problem)
어떤 영역 D의 경계 에서의 u가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 D위에서의 해 u를 구하는 것. 

u(x,y)=F(x)G(y)라 두면

두개의 상미분 방정식을 뽑아 낼 수 있고 총 4개의 Boundary Condition이 필요한데,
위 그림에서 나와 있듯이 B.C는 다음과 같다.

F와 G를 풀면,

마지막으로 I.C을 사용하여 나머지 계수를 구하면,