(고전제어이론) 02.The Laplace Transform

 

라플라스 변환. 시간공간(t 공간)에서의 어렵고 복잡한 계산을 라플라스 공간(S 공간)
또는 주파수 공간(jω)으로 가져와 쉽게 계산하고 이를 다시 시간공간으로 돌려 해를 찾는다.

기본 변환 공식은 다음과 같다.

즉 f(t)라는 시간 공간에 있는 함수를 F(s)라는 라플라스 공간으로 옮길 때 사용하는 변환 공식인데,
f(t)에서 다소 계산이 복잡한 것들이 라플라스 공간으로 이동하게 되면 아주 쉽게 풀 수 있다.
예를 들어, f(t)에서의 미분방정식은 F(s)에서 대수 방정식의 형태로 바뀌게 된다.

제어 공학에서는 라플라스를 어떻게 이용 할까??
주로 제어 시스템은 시간 영역에서 설계, 해석 되기도 하고, 주파수 영역에서 설계, 해석 되기도 한다.
이때, 시간 영역에서의 제어 시스템을 주파수 영역으로 변환하여 해석 하고 싶을 때
이 라플라스 이론이 사용된다. 차후에 설명 할 테지만, 우선 제어시스템을 모델링을 하게 되면 시간공간
에서의 함수를 얻을 수 있으며, 동시에 이를 라플라스 변환하여 S공간에서의 함수를 얻을 수 있다.
S 공간은 복소 주파수 공간이며, S의 함수로 되어 있는 제어시스템에서 S→jω로 바꿔 주기만 하면
주파수 공간상의 제어 시스템을 얻을 수 있다.  

기본적인 라플라스 변환

이미지 출처: http://www.megapass.co.kr/~da7304/data/jjj/jjj.htm

라플라스 변환이 f(t)를 F(s)로 바꾸는 것이라면, 라플라스 역변환은 F(s)에서 f(t)로 바꾸는 것이다.

예제를 풀어보자

다음의 미분 방정식을 라플라스 변환과 라플라스 역변환을 이용해서 풀어보자

부분분수 전개에 대한 내용 :
2011/04/22 - [Studies/Basic] - Partial fraction expansion (부분분수 전개)